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Setzt man diese Eesultate in die folg'enden (|i — 1) Gleicliungen 

 ein, so entstehen eben so viele Relationen zwischen h^, h,,, ... h^^^ 

 Diese Relationen sind von einander unabhängig. Wäre dies näm- 

 lich nicht der Fall, und wäre mindestens eine der Gleichungen (6) 

 eine Folge der übrigen, so würden die Gleichungen (6) in Verbin- 

 dung mit der ergänzenden 



^ ^ ao4(x, y, z, . . .) 1^- 



weniger als (\i. -\- v) unabhängige Bedingungen für die Bestimmung 



der (|x -|- v) Functionen hj, . . . h„; k^, . . . k^ liefern. Das 



System (6), (6^) hätte also unendlich viele Lösungen, d. h. die 

 Zerlegung von (5) in die Factoren (5*) wäre auf unendlich viele 

 Arten möglich. Das widerspricht aber dem Theorem von der 

 eindeutigen Zerlegbarkeit einer ganzen Function von x, y, z, . . . 

 Deshalb sind die (|i — 1) durch Eintragung von (7) in die letzten 

 Gleichungen von (6) entstehenden Relationen unter einander un- 

 abhängig. 



Eliminirt man aus ihnen nun einmal h^, h^, . . . h , so 

 entsteht eine Gleichung 



F,(h„ hJ = 0, 



aus welcher nach dem L ü r o t h - G o r d a n 'sehen Satze folgt? 

 dass man setzen kann 



cp = R(h„ b,); h, = R,(cp), h, = R,(cp). 



Eliminirt man ferner aus jenem Systeme h^, h^, . . . h^^, so 

 entsteht eine Gleichung 



F,(h„ h3) = F,[R,(cp), h3] = 0, 

 aus welcher nach dem L uro th -Go rdan 'sehen Satze wieder 

 folgt, dass man setzen kann 



^ = S(cp, h^); '^ = S,('\>), h, = S,(c{.) 

 oder auch wegen der bereits erfolgten Bestimmung von cp, hj und h., 

 i> = T (h„ h,, h3) ; 

 h, = T,C].), h, = T,C].), h3 = T3(ci;). 

 In gleicher Weise kann man weiter gehen und erkennt dabei, 

 dass es eine rationale Function co von x, y, z, . . . oder auch 

 von hj, ho, . . . h giebt, durch welche die h sämtlich in der 

 Gestalt 



h, = V,(C0), h, = V.,(0)), . . . . Ijj, = Vj,(03) 



ausgedrückt werden können. 



