36a L. LALANNE. — ydrchileclure des Abeilles. 



stiltats auxquels ou a été conduit par l'observation directe d'un 

 très grand nombre de cas, dans la moyenne desquels les erreurs 

 et les anomalies accidentelles finissent par se compenser, con- 

 formément aux principes du calcul des probabilités. Ainsi les 

 Abeilles, dans la construction de leurs alvéoles, ont résolu un 

 problème de minimum, et les parois de leur merveilleux édi6ce 

 ont été disposées de la manière la plus économique, en épar- 

 gnant le plus possible la matière et le travail , pour un volume 

 déterminé de l'alvéole, (i) 



(i) Les principes élénienlaires de l'applicatioa de l'algcbi'^ à la gioraétrie conduisent facile- 

 ment à ce résultat. En effet, déiij^nons, dans la figure 8, le côté AB de l'iiexagonc par a, et 

 par X la hauteur inconnue lîM , qiii délermine la posi'ion du plan coupant. Il suffît évidemment 

 de considérer les portions du solide prismatico-rhomboïdal , comprise entre les plans verti- 

 caux SOA, SOB, et le pan latéral qui passe par AB, et il s'agit de rendre la plus grande 

 possible la différence entre la somme OAB -\- ABMA' et la somme SAM -\- AMA'. Or, on a : 



OAB= 7 a- VV, ABMA' = ax, SAM = 70 ^'i (-^ + i "-)> AMA' = t ai. 

 En désignant par m le maximum inconnu , on a donc : 



ou (ra_iax — ^aal/3)' = |n2j;2_|_ J_„t_ 



Cct'.e équation développée et résolue par rapport à x , donne ; 



r — U -¥■ 1/ lam^ — &a-mv 3 + 7 a'. 



a^ 4 ~ 20V 



Les valeurs de m i\a\ rendent nul le radical, sont : 



m = ia'^(l/l ±l/T). 



La première de ces solutions donnerait pour x un résultat négatif; on ne doit donc prendre 

 que la seconde, qui est le maximum cherché; car, en vertu des propriétés des trinômes du 

 second degré, toute vaUur de m comprise entre ces deu.i limites rendrait le radical imagi- 

 naire. La valeur correspondante de j: est j: ^ i. a ^/^ 



Cette méthode de résoudre les problèmes de mînïmis et maxlmis^ sans le secours du calcul 

 différeuliel , est due à Lesaje, de Oenève, qui en a déduit, pour la détermination de 

 QS^BM^rl a y/r, la conslruclion simple que nous avons donnée plus haut (Fig. 3 et 11). 



Pour trouver la valeur des angles de la losauge SAMC ( figure 8 ) , on observe que dans le 

 triangle MUC, rectangle[en E, ou a 



rani!. EMCr:::!^ = =:s/a- 



EM V^al + La' •■■: 



or, l'augic dont la langenle csl \/~ , a pour valeur 54° 4 4' 8' 



D'où l'on lire : aujlc .VMC =r 2 EMl. = loy" 28' ifi"| puis SCM =: iSo"— . AMC=: 

 :o" 3i' 44". 



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