Om Geometriens tillämpning till Exponenlialer och I.ogarillimer. 449 



2. Vore filer lalet h inalionelt, i hvilUet fall det må uttryckas 

 med /, Ifiter sig ur fig. 8, 9 h;lriedas att 



l:o Det af liiiea» Dltii afskurua stycket em eger deu i 59:e de/iul- 

 lioneu uli oltaciterade arbete bestämda hufvudegenskap af «', att, da ex- 

 nonenten / faller emellan Ivenne rationella tal - och — ' hnilkn som he/^l, 



T t 



a' icke faller utom gränsorna a« och a", 



2:o Ingen annan rät Jiiiea îln em eger nyssnämnde egenskap. 

 Antages nemligen Ae' = —, Ae" = —, blir, enligt första händelsen i 



r / 



detta theorem, em' — a* , e"m" = o" . Men em kan aldrig falla utom grän- 

 sorna ein och ein", emedan enligt lineans Dim uppritning, em alltid i 

 fig. 8 ökas, och i fig. 9 minskas, vid tilltagandet af Ae. Linean em fal- 

 ler således, hvilka än de rationella talen j och- äro, aldrig utom grän- 



sorna a* och «", 



Att åter hvarje annan rät llnea än em, huru litet den än skiljer 

 sig Iran den sistnämnda, för vissa värden af j och - faller utom grän- 



sorna a^ och «" , bevisas på alldeles samma sätt som den analoga satsen 

 rörande produkten ih i VIII:e theoremet af ofta åberopade arbete ^*). Vi 

 nöja oss derföre att hänvisa till det å nämnda ställe anförda bevis, hvilket 

 kan ord för ord här användas, med ändring endast af bokstäfverna samt 

 utbyte af produkterna mot exponentialer. 



Det är till följe häraf tydligt att, äfven då h är irrationell tal, 

 em = a*. 



DetföregSende förutsätter att a > < 1. Vore « = 1, är theoremets san- 

 ning dock äfven tydlig, emedan a' dä blir = 1, hvilket värde än tillägges b. År 



*) Ada Societ. Scient. Fennic», T. IV, sid. '47. 



