34 
tances (1) et celles de La fonction potentielle ou poten- 
tiel relatif à un point, M. J. Bertrand donne, par 
des considérations géométriques immédiates, le 
potentiel d’une surface sphérique homogène, rela- 
tivement à un point pris dans son intérieur, et il 
en déduit, aussi sans calcul, le potentiel relatif à 
un point extérieur à l’aide des points conjugués, 
c'est-à-dire en regardant la sphère comme le lieu 
des points dont le rapport des distances à deux 
points fixes est constant. Il obtient ainsi très faci- 
lement les théorèmes classiques de Newton. 
Après avoir vérifié que le potentiel ne change 
pas brusquement quand on traverse la surface, 
mais qu'il en est autrement de l'attraction, il 
montre, de suite, que cette double propriété appar- 
tient au potentiel et à l'attraction d’une surface 
quelconque. 
De la surface sphérique on passe à la sphère 
pleine et annulaire. 
Le chapitre est complété par quelques exercices 
très intéressants, notamment celui de la couche 
sphérique qui attire les points extérieurs comme 
si sa masse était concentrée en un point autre que 
son centre, emprunté à W. Thomson. 
Je me permettrai une observation de détail. 
M. J. Bertrand prend soin de bien faire ressortir 
que la méthode qui lui permet de passer du poten- 
Liel de la surface sphérique relatif à un point inté- 
rieur, à son potentiel relatif à un point extérieur, 
est spéciale à cette surface. Mais, en insistant sur ce 
point, il me semble avoir un peu dépassé sa pensée 
lorsque (page 8), il dit: « Les deux problèmes 
« relatifs aux points intérieurs et extérieurs sont, 
«en général, de difficulté inégale, et celui des 
deux qu’on a pu résoudre ne peut servir en rien 
à la solution de l’autre. » 
« Les surfaces sphériques font exception, etc. » 
Quand on a trouvé le potentiel d’une surface 
fermée quelconque relatif aux points intérieurs, 
par exemple, et, par suite, relativement aux points 
de la surface même, le potentiel relatif aux points 
extérieurs est, par cela même, complètement 
déterminé ainsi qu'il est établi au $ 21 de ces 
À 
« 
{ 
leçons. 
Il est donc possible (je ne dis pas facile) de faire, 
pour toutes les surfaces, ce que M. J. Bertrand a 
fait pour la sphère, c’est-à-dire de déduire le 
potentiel relatif aux points extérieurs de celui 
relatif aux points intérieurs. 
On ne peut donc pas dire, au moins en principe, 
que la connaissance de ce dernier ne puisse servir 
en rien à la solution du premier, ni que la sphère, 
à ce point de vue, constitue une exception. 
——_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—— 
1) Le potentiel ainsi entondu est donc, au signe près, 
L'énergie potentielle du système attirant. 
MAURICE LÉVY. — LA THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L'ÉLECTRICITÉ 
Il 
LA FONCTION POTENTIELLE 
3. Ce qui a permis à M.J. Bertrand de présenter, 
sous une forme très simple, beaucoup de démons- 
trations, notamment en ce qui touche le potentiel, 
c’est que toutes les propriétés du potentiel qui se 
rapportent aux points extérieurs au corps attirant, 
sont exprimées par des équalions linéaires et homo- 
gènes relativement aux particules qui le compo- 
sent. 
Il en résulte qu'il suffit de les démontrer pour 
une seule particule et, alors, elles sont, en général, 
évidentes. Dans ce cas se trouvent : 
1° L’équation de Laplace ; 
2° Le célèbre théorème de Gauss consistant en 
ce que la moyenne des valeurs d’un potentiel rela- 
tivement aux divers points d’une surface sphé- 
rique, coïncide avec sa valeur au centre de la sur- 
face, pourvu que celle-ci ne rencontre pas la masse 
attirante, théorème que M. J. Bertrand montre, 
du reste, ne pas différer, au fond, du précédent. 
Il est donc certain que tout ce qu’on peut déduire 
de l’un se déduirait aussi de l’autre, mais avec 
quelle différence ! Le théorème de Gauss donne, 
en quelque sorte à vue, les corollaires suivants : 
a) Le potentiel d’un corps relativement à un point 
extérieur ne peut avoir ni maximum ni Minimum. 
b) Si le potentiel d’un corps est constant relati- 
vement à tous les points d’une surface fermée qui 
ne renferme aucune partie du corps, il est constant 
dans tout l’espace limité par la surface. 
ce) Si le potentiel d’un corps contenu tout entier 
dans une surface fermée est nul relativement à 
tous les points de la surface, il l’est relativement à 
tous les points extérieurs à cette surface. 
d) Si deux corps contenus tout entiers dans une 
surface fermée ont mêmes potentiels relativement 
à tous les points de cette surface, ils ont mêmes 
potentiels relativement à tous les points exté- 
rieurs à cette surface, et, par suite, mêmes masses. 
e) Si deux corps placés tous deux à l'extérieur 
d’une surface fermée ont mêmes potentiels relati- 
vement à tous les points de la surface, ils ont 
mêmes potentiels relativement à tousles points 
intérieurs à cette surface. 
f) On pourrait ajouter le théorème de Green tel- 
lement capital que M.J. Bertrand lui consacre le 
chapitre suivant, et qui est la suite immédiate des 
deux précédents. 
Or, lethéorème 2°, qui met ainsi en pleine lumière 
les conséquences que nous venons de résumer, est 
absolument évident quand le corps considéré se 
réduit à un point, et il est même manifeste que, 
Te PS 0, SR LE 
ê 
