MAURICE LÉVY. — LA THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L'ÉLECTRICITÉ 3) 
dans ce cas, il ne diffère pas de cette proposition 
de Newton : que le potentiel d’une surface sphé- 
rique homogène relativement à un point extérieur 
est le même que si toute la surface était concentrée 
en son centre. 
Etant ainsi évident pour un point, il l’est pour 
un corps composé d'un nombre quelconque de 
points. 
M. J. Bertrand l’établit un peu différemment à 
l’aide d’une identité de Gauss, dont il Uire souvent 
parti. 
3° On peut ajouter comme se déduisant simple- 
ment du cas où la masse attirante se réduit à un 
point, cet autre théorème de Gauss extrêmement 
utile aussi, que la somme 
des composantes normales des actions exercées 
sur tous les éléments ds d’une surface fermée quel- 
conque à laquelle on attribuerait la densité uni- 
forme 1, est nulle si aucune partie du corps ne se 
trouve à l’intérieur de la surface. 
Ce théorème aussi est équivalent à l'équation 
de Laplace, dont M. J. Bertrand le déduit par des 
intégrations partielles que la démonstration directe 
de Gauss évite, mais qui sont si utiles à connaître 
que je ne suis pas surpris que l’auteur se soit un 
instant déparli, pouren donner un exemple, de 
son principe d'éviter les intégrales non indispen- 
sables. 
4. Les énoncés de ces divers théorèmes se modi- 
fient quand on envisage le potentiel relativement 
à des points faisant partie du corps attirant. Mais 
les deux théorèmes de Gauss peuvent toujours se 
démontrer simplement. 
L'équation de Laplace se transforme en celle de 
Poisson que M. J. Bertrand établit par le procédé 
dû à Gauss qui consiste à le vérifier, ce qui est 
immédiat, pour la sphère homogène. Par là, il se 
trouve tout démontré pour tout corps homogène, 
el, par une extension facile, pour les corps quel- 
conques. 
5. C'est, d’ailleurs, toujours à l'immortel 
Mémoire de Gauss (1) qu'il convient de revenir en 
cette importante et délicate matière, C'est d'après 
lui aussi que M.J. Bertrand établit ce théorème, 
fondement de l’Electrostatique, comme de plusieurs 
branches de l'Analyse et de la Physique mathéma- 
tique : On peut toujours, el d’une seule manière, 
répartir une masse attirante sur une surface fermée 
donnée, ou plus généralement sur les surfaces 
(4) Allgemeine Lehrsätze in bezichung auf die im verkehrten 
Verhältniss des quadrats der Entfernung wirkenden Anzie- 
bungs und Abstossungskräfte. 
fermées limitant un espace à connexité multiple, 
de façon que le potentiel de la masse soit arbitrai- 
rement donné en chaque point de ces surfaces (1). 
III 
SURFACES SANS ACTION SUR LES POINTS INTÉRIEURS 
6. Ce magnifique théorème paraissait comme 
un défi jeté aux géomètres. Il leur indiquait qu’un 
problème est possible; il est capital en électricité 
et sa solution restail inaccessible sauf dans le cas 
d'une sphère. 
Le cas où il serait le plus utile d'en connaitre la 
solution, c’est celui où on demanderait de distri- 
buer la matière sur les surfaces données, de facon 
que son potentiel reste constant en tous les points 
de chacune d'elles. 
Poisson, dans son magistral mémoire sur la dis- 
tribution de l'électricité sur deux sphères, l’a résolu 
pour deux pareilles surfaces. 
Les travaux de Maclaurin, de Legendre, de Gauss, 
d'Ivory, etc., sur l'attraction des ellipsoïdes ont 
permis de le résoudre pour un ellipsoïde. 
Le théorème suivant, dû à Green, en donne une 
infinité de solutions nouvelles : 
Si, sur une surface de niveau 
Vi 
supposée formée d’une masse attirante quelconque, 
on répartit une couche de matière, en lui donnant, 
en chaque point, la densité superficielle : 
n étant la normale extérieure, cette couche de 
matière exerce, sur les points extérieurs à la sur- 
face, la même action que la partie de la masse 
attirante placée dans son intérieur et sur les points 
intérieurs à la surface, une action égale et contraire 
à celle exercée par la partie de la masse qui lui est 
extérieure. 
Si donc la masse attirante est tout entière à 
l'intérieur de la surface, la couche de matière 
répartie sur celle-ci n’exercera aucune action sur 
les points qui lui sont intérieurs, son potentiel 
(1) On sait que Dirichlet a, depuis, donné de cette proposi- 
tion, une autre démonstration basée sur le célèbre théorème 
qui porte son nom. 
Les deux démonstrations supposent l'existence d’un maxi- 
mum ou dun minimum, existence au sujet de laquelle les 
géomètres, dans leurs exigences actuelles de rigueur, ont 
fait certaines réserves. Mais c’est là une discussion de pure 
analyse qui n’aurait pas sa place ici, 
