36 MAURICE LÉVY. 
sera donc constant en ces points et, par suite, sur 
la surface elle-même. 
Le problème de répartir une couche de matière 
de facon à remplir cette dernière condition est 
donc résolu, toutes les fois qu’on connaît les sur- 
faces de niveau, c’est-à-dire la fonction poten- 
tielle V d’une masse attirante donnée. Or, il suffit 
de former cette masse avec un nombre limité de 
points pour que sa fonction potentielle s’oblienne 
sans intégration. On a donc ainsi la solution immé- 
diate du problème dans un nombre illimité de cas. 
Tout le reste du chapitre est consacré à des ap- 
plications destinées à montrer le parti qu’on peut 
tirer de ce beau résultat, d'autant plus remarquable 
qu'il fournit en mème lemps, sans intégralion, l’at- 
traction de la couche sur tous les points de l’espace. 
Il est à peine besoin d'observer toutefois que le 
théorème ne fournit aucun moyen d'aborder de 
front la difficulté du problème direct consistant à 
distribuer ia matière surune surface donnée d'avance. 
Celui-ci n’a été attaqué que par Poisson. 
IV 
LIGNES DE FORCE 
7. Nous appelons l'attention sur ce chapitre très 
bref et très instructif. On sait le rôle capital et 
éminemment pralique que jouent, depuis Faraday, 
les lignes de force dans les applications de l'Élec- 
tricité et de l'Électro-magnétisme. 
Que les lignes de force, c’est-à-dire les trajec- 
toires orthogonalesdes surfaces de niveau donnent, 
en chaque point de l’espace, la direction de l’action 
exercée en ce point, cela est évident; mais Faraday 
leur fait aussi représenter la grandeur de cette 
action, ou, comme on dit, la grandeur du champ 
électrique ou magnétique lorsque les actions sont dues 
à l'électricilé ou au magnétisme. Il mesure cette 
grandeur par le nombre des lignes de force qui tra- 
versent une surface donnée. 
M. J. Bertrand montre que cette mesure est par- 
faitement exacte, mais seulement pour les actions 
inversement proportionnelles aux carrés des 
distances. 
D'autre part, quand un fil conducteur, tra- 
versé par un courant électrique, se déplace dans 
un champ magnétique, il éprouve une résistance, 
et on dit que le travail de cette résistance est me- 
surable par le nombre de lignes de force que le 
courant rencontre pendant son déplacement. 
M. J. Bertrand cherche quelle est la loi la plus 
générale des actions entre courants et aimants pour 
laquelle cette proposition est exacte, et il trouve 
que c’est la loi déduile de celle de Biot et Savart, 
c'est-à-dire celle qu'on admet réellement comme 
— LA THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L'ÉLECTRICITÉ 
existant entre un pôle magnétique et un élément 
de courant. 
Ces quelques considérations, d’ailleurs très 
simples, sont de nature à rendre très précise la 
notion si ulile des lignes de force. 
M 
ÉLECTROSTATIQUE 
8. En général, on ne rappelle pas assez les 
principes de l’Électrostatique tels qu'ils ont été 
établis par Coulomb et développés mathémati- 
quement par Poisson. 
M.J. Bertrand n’a pas failli à cette tâche et 
quoique je trouve le procès qu’il fait à ces prin- 
cipes un peu sévère, sa discussion n’en est ee 
moins instructive. ‘ 
Je commencerai par examiner ses objections. 
Pour que les fluides électriques contenus à l’in- 
térieur d'un corps conducteur soient en équilibre 
sous l’action de forces électriques quelconques, il 
faut et il suffit que le potentiel de ces forces soit 
constant relalivement à tous les points de la surface 
du conducteur. 
Alors il sera constant aussi dans tout l'intérieur 
de ce corps. 
Que la condition soit suffisante, cela est évident! 
parce que, si elle est remplie, la résultante des ac- 
tions en un pointquelconque duconducteurestnulle. 
Elle est aussi nécessaire: «Œn effet,» dit Coulomb 
dans un passage reproduit par M. J. Bertrand, «si 
«les actions en un point d’une masse métallique 
«avaient une résultante différente de zéro, les 
«molécules de fluides contraires qui, par hypo- 
«thèse, se trouvent accumulées et réunies en 
« chaque point de la masse, seraient sollicitées par 
«des forces égales et contraires qui provoque- 
« raient la séparation et détruiraient l’équilibre. » 
M. J. Bertrand ne trouve pas l’asserlion évi- 
dente : « Les fluides de noms contraires, dit-il, 
«s’attirent, À distance infiniment petite, l’attrac- 
« Lion est infiniment grande. Pourquoi cette attrae 
«tion infinie sera-t-elle vaincue par la plus petite 
« force? » 
Cette attraction n’est infinie qu’en apparence; en 
fait, elle est infiniment petite ou nulle. Si l’objec- 
lion était valable, elle vaudrait pour tout point 
placé à l’intérieur d'une masse attirante continue, 
et cela n’est pas, comme on sait, et comme cela est 
établi aux $ 28 et suivants des Leçons de M.J. Ber- 
trand qui, du reste, semble lui-même ne pas insister 
lorsqu'il dit : «II faut ajouter, pour mettre en pré- 
«sence tous les éléments de la question, que la 
«masse attirante pour chaque portion d'électricité, 
« mise en liberté, est infiniment petite. » 
yes 
