MAURICE LÉVY. — LA THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L'ÉLECTRICITÉ 37 
M. J. Bertrand fait encore une autre observa- 
tion : « Les fluides de même nom se repoussent; 
«on conçoit done, dit Coulomb, que le fluide libre 
«sera transporté à la surface du corps où il sera 
«retenu par l'air environnant. » 
« Cette raison sommaire, dit M. J. Bertrand, ne 
« peut suffire. Les molécules des gaz se repoussent; 
«on ne les voit pas, pour cela, s’accumuler à la 
«surface du vase qui les contient. 
«Le transport de l'électricité à la surface est, 
«en réalité, dans la théorie de Poisson, accepté 
«comme une vérité d'expérience. » 
Que la raison sommaire donnée par Coulomb ne 
soit pas probante ; c’est certain; mais la théorie de 
Poisson ne me semble pas être dans le même cas, 
puisque c’est l'équation même de Poisson : 
dV 
dr? 
DV DV Les 
ce 0 
dy° d 
qui montre que si le potentiel V est constant et, 
par suite, ses dérivées nulles à l’intérieur du con- 
ducteur, il en est de même de la densité élec- 
trique p. 
C'est parce que le potentiel des actions entre 
molécules gazeuses n’obéit pas à une équation 
comme celle-ci que, malgré leur action répulsive, 
elles ne se portent pas toutes à la surface de l’en- 
ceinte qui les renferme. 
Je crois donc que les raisonnements réunis de 
Coulomb et Poisson sont suffisants, étant admise 
l'hypothèse des deux fluides. 
Cela n'ôte d’ailleurs rien à l'utilité de l'exercice 
qui consiste à montrer, comme le fait M. J. Ber- 
trand, et comme l’a fait Maxwell que, si on admet 
à litre de fait expérimental, que le fluide se porte 
à la surface des conducteurs, la loi de Coulomb 
s’ensuil. 
Du théorème énoncé au commencement de ce 
paragraphe, il résulte que si un nombre quelcon- 
que de conducteurs chargés à des potentiels donnés, 
sont soumis à leurs actions mutuelles et aux actions 
de masses électriques fixes, la densité de la couche 
qui se formera à la surface de chacun d’eux devra 
être telle que son potentiel ait, en chaque point de 
la surface, une valeur donnée. 
Or, nous avons vu que les couches satisfaisant à 
ces conditions existent, et que le problème consis- 
tant à les trouver n'a qu’une solution. Ainsi, des 
conducteurs mis en leur présence mutuelle et 
en présence d’isolants électrisés finissent tou- 
Jours par se mettre en équilibre électrique et ils 
n'admettent qu'un seul état d'équilibre. 
Cela est encore vrai si, au lieu d’être chargés à 
des potentiels donnés, ils sont chargés de masses 
électriques données. 
Si les conducteurs ne sont soumis qu'à leurs 
actions mutuelles, le potentiel de chacune des 
couches qui se forment doit être constant en tous 
les points de la surface qu’elle recouvre. 
Le théorème de Green permet alors de résoudre 
le problème dans une infinité de cas. Parmi les 
exemples qu'en donne M. J. Bertrand, je citerai 
d'abord celui, dû à Maxwell, d'un corps limité 
par deux calottes sphériques se coupant à angle 
droit. 
La couche électrique sur chaque sphère est 
formée d’une partie constante et d’une partie 
inversement proportionnelle au cube de la distance 
à un point fixe. 
Sur la circonférence d'intersection des deux 
calottes, la densité de la couche est nulle. 
Lorsqu'on a plus d’un conducteur, la difficulté 
du problème direct de la distribution n’a, en réa- 
lité, comme nous l’avens dit plus haut, pu être 
vaincue que dans un seul cas : celui de deux con- 
ducteurs sphériques, et c’est à Poisson qu'on doit 
cette belle solution. M. J. Bertrand donne et éta- 
blit très élégamment les résultats numériques les 
plus intéressants du mémoire de son illustre 
devancier. 
9. Dans ce qui précède, on a implicitement sup- 
posé les conducteurs pleins. 
Le cas où ils sont évidés s'y ramène immédiate- 
ment comme l’a indiqué, pour la première fois, 
Faraday par une divination que la théorie mathé- 
malique confirme. Sous la désignation 1", 2, æ, 
4° théorème de Faraday, M. J. Bertrand établit des 
résullats qui peuvent se résumer en ceci : 
1° Si un conducteur chargé d'une masse élec- 
trique E porte une ou plusieurs cavilés dans les- 
quelles sont placés des isolants fixes chargés en 
tout d'une masse électrique M, sa surface exté- 
rieure se recouvre d'une couche électrique iden- 
tique à celle qui se produirait s’il était plein et 
chargé de la masse électrique totale E + M. 
Son aclion sur les corps extérieurs est aussi 
pareille à celle du conducteur plein. 
Sur la surface intérieure se dépose une couche 
de masse — M équilibrée par l'isolant + M. 
2° Les corps extérieurs agissent sur un conduc- 
teur creux comme s’il était plein. 
Ainsi, supposons deux conducteurs creux por- 
tant dans leurs cavités respectives des masses élec- 
triques + M et — M. On les réunit par un fil. 
Qu'arrivera-t-il? Il arrivera, d’après 1°, que le sys- 
tème sera neutre. 
Viennent ensuile quelques théorèmes de Maxwell 
dont le plus important pourrait s'énoncer ainsi: Si 
l’on a un système de conducteurs chargés de masses 
électriques données E,,E,,E,... d’où résulte sur 
chacun d'eux un potentiel constant V,, V,, V,... 
l'énergie potentielle W du système est une fone- 
