98 P. APPELL, — LE PROBLÈME DES DÉBLAIS ET DES REMBLAIS 
de routes rectilignes qui réalise le minimum 
demandé est le meilleur système de routes. Le mémoire 
que Monge consacre à cette question est l’un des 
plus importants qu’ait publiés le grand géomètre. 
moins par la solution du problème des déblais et 
des remblais, que par les théorèmes de géométrie 
qui y sont élablis, en passant, comme lemmes et 
comme propositions incidentes : c'est en effet, dans 
ce mémoire, que se trouvent développées les pro- 
priélés, maintenant classiques, des systèmes de 
rayons rectilignes et des lignes de courbure des 
surfaces. 
La méthode suivie par Monge consiste à chercher 
d’abord des conditions nécessaires auxquelles 
doivent salisfaire les routes. Parmi ces conditions, 
la suivante se place au premier rang: dans le 
meilleur système de routes, les lignes droites 
suivies par deux parcelles quelconques ne doivent 
jamais se couper, si ce n'est à leur point de départ 
commun dans le déblai ou à leur point d’aboutis- 
sement commun dans le remblai; car, si deux 
routes se croisent entre leurs extrémités, une 
figure bien simple montre que l'on peut diminuer 
le prix du transport des deux parcelles du déblai 
en échangeant leurs points de destination dans le 
remblai, Il résulte de ce principe que toutes les 
parcelles du déblai et du remblai, qui se trouvent 
sur la route suivie par une autre parcelle, doivent 
suivre la même route qu’elle. Donc, sur chaque 
route du meilleur système, il cheminera en général 
une infinité de parcelles formant, dans le déblai 
etle remblai, deux filets infiniment minces équi- 
valents. Pour préciser ce point d’une importance 
capitale, considérons deux volumes équivalents, de 
forme ellipsoïdale, comme ceux que représente la 
figure ci-contre : les routes devront traverser les 
deux volumes de part en part, et, si l’on trace celles 
de ces routes qui s'appuient sur une petite courbe 
fermée C marquée à la surface du déblai, elles 
formeront une sorte de tuyau découpant dans le 
déblai et le remblai des volumes équivalents DD'et 
RR’. Les parcelles du déblai situées dans ce tuyau 
en DD' seront transportées, dans son intérieur, sur , 
les parcelles du remblai en RR’. C'est l’ensemble 
de toutes les routes de ce genre qu'il s'agit de 
déterminer de facon à rendre minimum le prix 
total du transport. 
Après avoir montré que cette détermination est 
facile dans le cas simple où les deux volumes 
peuvent être assimilés à des aires planes siluées 
dans un même plan, Monge fait connaitre, pour le 
cas général, la proposition suivante qui est la base 
de toute sa théorie : 
Les routes appartenant au meilleur système doivent 
être xsormales à une même surface, 
C'est dans le but d'établir ce théorème que 
Monge étudie les propriétés essentielles des 
systèmes de droites et donne, pour exprimer que 
dans 
des droites se succédant l'espace d'une 
manière continue sont normales à une même 
surface, une condition géométrique très simpie 
qui conduit immédiatement aux propriélés des 
lignes de courbure, Mais les raisonnements à 
l’aide desquels il prouve que les routes du 
meilleur système doivent être normales à une 
même surface, peu salisfaisants que 
le théorème était mis en doute par certains géo- 
mètres; la démonstralion géométrique que Dupin 
en a donnée plus tard est également sujette à de 
graves objections, Le théorème de Monge est vrai 
pourtant : à la suite d’une question posée par 
l’Académie en 1884, il a été démontré géométri- 
quement d’une façon très élégante par M. A de 
Saint-Germain, et analytiquement par d'autres 
auteurs, notamment par M. Otto Ohnesorge (1); la 
démonstration analytique, fondée sur le calcul des 
variations, permet de montrer que le théorème de 
Monge est encore vrai, même si la densité est 
variable dans le déblai et le remblai. 
sont si 
Il 
D'après ce théorème, voici comment on procé- 
dera pour obtenir le meilleur système de routes 
correspondant à un déblai et à un remblai donnés. 
On cherchera une portion de surface continue 
S telle que les normales à cette surface le long de 
son contour soient tangentes à la fois au déblai et 
au remblai, et que les normales à l'intérieur du 
contour traversent entièrement le déblai et le 
remblai en remplissant la condilion suivante que 
nous avons déjà indiquée : si l'on prend une suite 
continue de ces normales formant un tuyau de 
(4) Le Mémoire de M. Otio Ohnesorge a été présenté à 
l'Académie, mais n’a pas été publié à notre connaissance. 
