P. APPELL. -_ LE PROBLÈME DES DÉBLAIS ET DES REMBLAIS 
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section très petite , ce tuyau doit détacher, dans le 
déblai et le remblai, des volumes équivalents. 
Toutes ces conditions étant réalisées, ces normales 
formeront le meilleur système de routes, sauf dans 
des cas exceptionnels sur lesquels il serait trop 
long d’insister. Ces cas exceptionnels ne pourront 
pas se présenter si la surface S est convexe du côté 
du déblai et du remblai. 
Pour déterminer la surface S normale aux routes 
du meilleur système, il faut intégrer une équation 
aux dérivées partielles du second ardre déjà donnée 
par Monge. Dans l’état actuel du caleul intégral, 
cette équation ne peut être intégrée que dans des 
cas particuliers, par exemple dans le cas où le 
déblai et le remblai sont des aires homogènes 
équivalentes situées dans des plans parallèles ou 
sur la surface d'une sphère. Mais, même en 
admettant qu'on ait réussi à intégrer l'équation, 
on se trouvera, pour la détermination des deux 
fonctions arbitraires qui figurent dans l'intégrale 
générale, en face de nouvelles difficultés de la 
nature de celles qui se présentent dans la théorie 
des surfaces minima. Le célèbre problème des 
surfaces minimes consiste à trouver,parmi toutes 
les surfaces continues passant par une courbe 
fermée donnée, celle dont Paire est la plus petite 
possible. On peut obtenir physiquement cette sur- 
face en construisant, avec un fil métallique, un 
contour égal à la courbe donnée et le plongeant 
dans un liquide légèrement visqueux; le contour 
élant ensuite reliré, le liquide forme une lame con- 
tinue très mince passant par la courbe et repré- 
sentant approximalivementla surface demandée(1). 
Si l’on veut déterminer analytiquement cette sur- 
face, il se présente des diflicullés que M. Darboux 
résume de la manière suivante : «Si l’on considère 
«toutes les surfaces formant une nappe continue 
«passant par une courbe fermée, le calcul des 
« variations apprend que la surface d’aire minimum 
«aura, en chaque point, ses rayons de courbure 
«égaux et de signes contraires. L’équation aux 
«dérivées partielles de cette surface une fois inté- 
«grée, la condition à laquelle elle est assujettie de 
« passer par la courbe ne permet pas de déter- 
(1) En !8$3, M. Schwarz, professeur à 1 Université de Gœt- 
tingue, a reproduit ainsi devant l’Académie des Sciences les 
plus importantes des surfaces minima, en employant un 
liquide et des apparei!s de son invention. 
«miner complètement les deux fonctions arbi- 
« traires dont elle dépend. Il existe une infinité de 
«surfaces minima contenant la courbe ; mais ces 
«surfaces ne satisfont pas toutes, on le sait, à la 
« condition, supposée cependant par le caleul des 
« variations, de former une nappe continue reliant 
« les uns aux autres tous les points de la courbe. On 
«ne peut déterminer les deux fonctions arbitraires 
« qu'en employant des considérations tout à fait 
« indépendantes de la méthode des variations, 
«puisque la condition à laquelle il s’agit de satis- 
« faire est supposée remplie au moment même où 
«commence l'application de cette méthode, Le 
« problème auquel on est ainsi conduit arrète 
« aujourd’hui encore les efforts des géomètres et 
«n'a pu être résolu que dans quelques cas parti- 
« culiers,. 
« La solution du problème de Monge présente 
« des difficultés analogues et peut-être plus grandes. 
«Les fonctions arbitraires d’une variable, qui 
«entrent dans les équations du système des routes, 
« doivent être déterminées par la condition que les 
«routes forment un système continu, permettant 
« de transporter dans l'ensemble du remblai la 
« totalité des parcelles qui composent le déblai. La 
« condition, évidente a priori, que les routes limites 
«soient tangentes à la fois à la surface du déblai et 
« à celle du remblai, ne fait connaitre qu'une de 
«ces deux fonctions, et il n'existe, comme dans la 
«théorie des surfaces minima, aucune règle fixe et 
« précise conduisant à la solution complète de la 
« question proposée. » 
Il est quelques cas simples où la solution com- 
plète se trouve aisément, Ainsi, lorsque le déblai el 
le remblai sont des volumes symétriques l’un de 
l’autre par rapport à un plan passant entre les deux 
volumes, lasymétrie pouvant être oblique, les routes 
du meilleur système s’obtiennent en portant chaque 
“élément sur son symétrique; elles sont parallèles à 
une même direction c'est-à-dire normales à un 
plan. Lorsque le déblai et le remblai sont des 
volumes de révolution autour d’un même axe, les 
routes du meilleur système sont situées dans les 
plans méridiens ; elles sont normales à une surface 
de révolution autour du même axe. 
P. Appell. 
Professeur à la Sorbonne. 
