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La continuité ne peut être troublée en aucun 
point de la masse fluide et, comme conséquence, 
les vitesses et les pressions qui répondent aux 
états de mouvement A et B sont égales en tous les 
points de $S. Telles sont les relations qui doivent 
être satisfaites sur cette surface et se conserver 
lorsqu'elle a été remplacée par une autre, très voi- 
sine. Elles sont particulières aux deux mouvements 
que l’on considère et définissent la surface de l'onde. 
Il en est d’autres, au contraire, qui traduisent seu- 
lement les propriétés générales du fluide et con- 
viennent à tous les états qu’il peut prendre; ce sont 
des équations aux dérivées partielles. Or, ces der- 
nières, jointes aux précédentes, donnent par une 
analyse presque élémentaire, l'expression de la 
vitesse de propagation cherchée. On en conclut 
d’abord la proposition suivante : 
La vitesse de propagation d'un mouvement dans un 
fluide est déterminée par l'état du fluide; elle ne change 
point, quelle que soit la nature du mouvement qui s'y 
propage, pourvu qu'aucune discontinuité ne se produise. 
Afin de bien saisir la signification de ce résultat, 
il faut remarquer d’ailleurs qu’étant donné un état 
de mouvement À, tout autre mouvement B, com- 
patible avec les propriétés du fluide ou, ce qui est 
la même chose, avec les équations différentielles 
qui les représentent, n’est pas nécessairement sus- 
ceptible de se propager aux dépens de A. Un phé- 
nomène plus compliqué peut prendre naissance et 
c’est un point que mettent en lumière les recher- 
ches antérieurement faites par Hngoniot dans un 
cas plus simple. 
III 
Il est facile de s’en rendre compte, quand les 
mouvements dont il s’agit s'effectuent par tranches 
parallèles, dans une conduite cylindrique. Les 
portions du fluide animées des mouvements À et B 
sont séparées d’abord par une tranche S ; un troi- 
sième mouvement y prend aussitôt naissance et se 
propage, d’un côté aux dépens de À, de l’autre aux 
dépens de B. Cette modification curieuse offre les 
plus grandes analogies avec les phénomènes que 
l’on désigne sous le nom de réflexions et qui se 
produisent dans des circonstances un peu diffé- 
rentes. 
Quant à l'expression mathématique de la vitesse 
de propagation, elle présente un intérêt spécial, 
en raison du petit nombre d'éléments qu'elle fait 
intervenir. En effet, si la conductibilité du fluide 
pour la chaleur est négligeable, comme on le va 
supposer, il y a une relation caractéristique et 
connue entre la densité p et la pression p, de sorte 
R. LIOUVILLE. — LA PROPAGATION DES MOUVEMENTS DANS LES FLUIDES 
que, l’une de ces quantités étant donnée, la se- 
conde s’en déduit par une loi générale : 
p=f (e). 
Soit maintenant N la vitesse d’un point appar- 
tenant à la masse fluide et situé sur la surfaceS, 
cette vitesse étant comptée normalement à la sur- 
face. La vitesse de propagation V s'exprime, au 
point considéré, de cette manière : 
V=N—+,/4 
ee 
«do 
et cela, quel que soit l’état initial du fluide, quel 
que soit aussi le mouvement qui s’y propage. Ces 
circonstances, propres à chaque cas particulier, 
n'interviennent pas explicitement; elles sont né- 
cessaires pour déterminer la densité et par suite 
la pression, ainsi que la vitesse N au point dont il 
s’agit; mais si l’on imagine que ces éléments soient 
obtenus d’une façon quelconque, la vitesse de pro- 
pagation V s’en déduira par la même formule 
dans tous les cas possibles. 
Cette formule, au reste, était bien connue, lors- 
qu'il était question des mouvements simples dont 
l'étude peut ètre faite immédiatement ; mais ici les 
conditions qui déterminent le mouvement peuvent 
être quelconques; le mouvement qui prend nais- 
sance peut être inconnu; si l’état primitif du fluide 
est donné, la vitesse de propagation l’est par cela 
même. En oulre, ni la viscosité du fluide, ni des 
forces appliquées en chacun de ses points et dé- 
pendant uniquement de la position et de la vitesse 
de ce point ne peuventchanger l'expression générale 
de la vitesse de propagation. 
La méthode indiquée s’élend même à tous les 
mouvements régis par un système d'équations aux 
dérivées partielles du second ordre, notamment à 
ceux qu'il faut étudier dans la théorie de l’élasti- 
cité ou dans celle de la lumière. J'ajoute qu'il se 
produit dans ces derniers cas une circonstance 
particulière fort importante. Les équations qui s’y 
rattachent ayant tous leurs coeflicients constants, 
les valeurs de la vitesse de propagation sont en- 
tièrement déterminées pour chaque direction nor- 
male à la surface S. Les formules obtenues sont 
d'accord avec celles que donnent la considération 
des ondes planes et le principe d'Huyghens, mais 
pour les déduire des équations différentielles, base 
des recherches sur ce sujet, les procédés sont di- 
rects et n'impliquent aucune hypothèse. 
R. Liouville, 
Répétiteur à l'Ecole Polytechnique 
