G. DE LONGCHAYWPS.— LES FONCTIONS HYPER-BERNOULLIENNES ET LA FONCTION p () 571 
LES FONCTIONS HYPER-BERNOULLIENNES ET LA FONCTION ? (v) 
La Revue à rendu compte il y a quelques mois 
du travail où nous avons exposé la théorie et 
quelques applications des Fonctions hyper-Bernoul- 
liennes *. 
Nous avons montré comment elles se rattachent à 
un certain nombre de fonctions connues. Mais, à ce 
propos, notre mémoire présente une lacune, qu'il 
importe de signaler. 
C’est un fait notable que la fonction p(u) de 
M. Weierstrass, base de toute la théorie des fonc- 
tions elliptiques, telle qu’elle est exposée dans 
l'ouvrage si remarquable du regretté Halphen #*, 
peut être considérée comme une fonction hyper- 
Bernoullienne. 
Halphen a observé Zoe. vit.) que l'expression 
algébrique (x — 1)A,A, (nr —92)A,A, ,+...+ 
A, A, est susceptible d'une transformation impor- 
tante. Présentée, comme nous allons le faire, à un 
point de vue général, cette formule intéresse la | 
théorie de toutes les fonctions hyper-Bernoul- 
liennes. 
La formule fondamentale 
q(n) An —=A,A;+A,A, ,+...HLA, A, 
donne 
nq(n)A,={n—1)A,A, ;+(n—92)A,A, ,+...+A, A 
A, A —2A, A+. os _ (mn — 1) Ava A, 
el, par conséquent, 
EU) Ar=—{n—L)A An 10 —9)A A, +... A A. 
Ainsi, l'expression 
(n —1)A, A; +...+A, A, 
peut toujours se remplacer, quelle que soit la «ef 
o(n), par 
L Voyez la Revue du 15 mars dernier, p. 146. 
? Voyez le Volume LII des Mémoires couronnes et Mémoires 
des savants étrangers publiés par l'Académie royale de Belgique. 
5 G.-H. Hazenex, membre de l’Institut. Traité des fonctions 
elliptiques et de leurs applications. Paris, Gauthicr-Villars, 1886. 
4 Cette remarque, si évidente qu’elle soit, est importante 
parce que, en posant 
fa) = a+ 0,2 +a,2+...Lonan 
on a 
fx) F')= .. [e,an—1 + 20, an—9 +... + 
+ (an —1)a,an—1 na, an]an—t +... 
Le cocfficient de 2-1, dans ce développement, est donc 
n 
n 4, An + 5 (an. 
= | 
Pour l’établir, nous devons rappeler la définition 
des fonctions hyper-Bernoulliennes. Soient 
A An Es PATES ne 
les coefficients d'une fonction d’une lettre +, déve- 
loppée en série. Si l’on pose, comme nous l'avons 
fait dans le Mémoire cité, 
g(n) AS — (A); ù 
il est facile de reconnaitre que p (x) est une fonction 
hyper-Bernoullienne, correspondant à une clef du 
second ordre. 
Posons, avec Halphen (/oc. cit., p. 92) : 
1 
p(u)— " + CG +Gru+ Cui +... HG... 
Si l’on tient compte de la relation connue 
p"(u)=12p(x)p" (a), 
en égalant les termes qui correspondent aux mêmes 
puissances de #, dans les deux membres, on trouve 
C 
(A) (2n—2)(2n —3) (2n —4)C,—24[(n—1)C+ 
+ {n — 3) Cn_2 C3 + (7 — 4) Cons Cy +. + Cn_3C— Cu] 
D'après cette remarque, la relation (A) prend Ja 
forme ? : 
0, puis 
: Ca —— C, Ci + C, Ci-3 .… + CG; C.. 
‘ Dans cette formule, $(2) désigne une fonction de », que 
nous appelons la Clef ; et (Ah représente, symboliquement, la 
suite 
Aer DA AE ee Aer A 
La formule en question permet donc de calculer, par voie 
récurrente, les coefficients A, à partir de 7 = p, connaissant 
DEA ee pl 
Dans certains cas, la série adjointe aux nombres récurrents &, 
étant de parité impaire, on doit poser 
fa) = ar +a,r Hans... +ondantit,., 
Dans cette hypothèse, on a 
(1) fh)f'(@) = ... [aan + 3 ar +. + 
Æ(n—1)an10,+ (27 +1) « on] z2F1 +... 
Pour exprimer le coefficient de 241, en fonction des quan- 
tités an Ct (x)n, on observera que les relations : 
o(n) An= A,An1+...+ An À,, 
= en) Ann 1JA Ari t.:+AniA, 
donnent J 
(n+1)9(n) An = (2n —1)A,An1+...+3An1A, 
d’après cela, le coefficient du terme en 24H, dans (1), est 
(2n + 2)a,on + (7 + 1) (œ)n. 
? Pour le calcul nécessaire, très simple d’ailleurs, voyez le 
Traité d'Halphen, p. 92. 
