E. PICARD. — REVUE ANNUELLE D’ANALYSE 
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l'Analyse. Mais cette idée de fonction est bien 
vague par elle-même; c’est peu à peu seulement 
que les analystes se sont rendu compte de son 
étendue, et nos idées à ce sujet sont certes aujour- 
d'hui bien différentes de celles de Lagrange, à 
l’époque où ce grand géomètre écrivait son traité 
sur le Calcul des fonctions. On sait, par exemple, 
aujourd'hui qu'une fonction continue n'a pas né- 
cessairement une dérivée, qu'il existe des fonctions 
continues ayant dans tout intervalle une infinité 
de maxima et minima. Il est donc nécessaire, si l’on 
veut sortir des généralités, d'étudier des classes 
de fonctions que distinguent quelques caractères 
spéciaux. 
D'un intérêt tout particulier, sont les fonctions 
qu'on appelle maintenant fonctions analytiques, 
dont la théorie a été créée par Cauchy, et qui 
ont fait, depuis vingt ans, l’objet d'innombrables | 
des fonc- | 
travaux. Leur étude revient à celle 
tions &« de deux variables + et y satisfaisant à 
l'équation : 
(1) 
Les fonctions salisfaisant à cette équation peu- 
vent s'associer deux à deux, de telle sorte que 
u et v désignant deux fonctions associées, # + iv 
soit une fonction analytique de la variable complexe 
32 + iy, c'est-à-dire une fonction de z ayant 
en chaque point une dérivée unique. L’équation (1) 
à laquelle on est ainsi conduit, en se plaçant à un 
point de vue purement abstrait, se rencontre dans 
plusieurs questions de physique mathématique. 
Dans la théorie de la chaleur, l'équation précédente 
régit les variations de la température « des points 
d’un plan, quand l'équilibre calorifique est établi. 
Dans le mouvement permanent des fluides sur un 
plan, quand il existe un potentiel # de vitesse, 
elle est vérifiée par ce potentiel de vilesse; les 
lignes » — Constante, orthogonales aux lignes 
d'égal potentiel, sont les lignes de courant. On 
peut voir de nombreux exemples de tels mouve- 
ments dans les admirables lecons de Kirchoff sur la 
physique mathématique. Nous rencontrons encore 
l'équation (1) dans le mouvement permanent de | 
l'électricité sur une plaque conductrice; w désigne 
la tension électrique, et, iei, comme plus haut pour 
la chaleur, l'équation exprime que l'électricité ne 
s’accumule pas dans un élément pris arbitrairement 
sur la plaque. Prenons deux exemples simples; 
soit : 
2 — 4 
uù + à = log - à; (2 
— æ + i) 
les lignes des courants sont des cercles passant par 
les points & et b; le Courant entre sur la plaque par | 
un des points et sort par l’autre. Si au contraire 
nous posons : 
: ] z—a 
u + iv = ilog —-— 
| 
| 
les lignes de courant sont des cercles par rap- 
| port auxquels les points & et à sont conjugués ; on 
peut concevoir la réalisation expérimentale d’un 
tel état, en joignant sur la plaque les points & et b 
par une courbe qui serait le siège d’une force élec- 
tromotrice constante. Nous verrons tout à l'heure 
une curieuse application de cette remarque. 
Parmi tous les problèmes relatifs à l'équation (1), 
| ou à l'équation analogue avec trois termes, il en 
| est un particulièrement célèbre connu sous le nom 
de principe de Dirichlet. Une intégrale de cette 
équation, continue ainsi que ses dérivées à Pinté- 
rieur d’un contour, est complètement déterminée 
quand on donne sa valeur le long de ce con- 
tour; ce sera la valeur sur une surface fermée, 
s'il s'agit de l'équation à trois termes. La dé- 
monstration, pourtant si féconde, que Riemann 
donne du principe de Dirichlet est sujette à de 
graves objections, et de nombreuses recherches 
ont été faites pour arriver à une démonstration 
rigoureuse. Il convient de mentionner surtout 
M. Neumann et M. Schwarz. Les beaux travaux 
de M. Schwarz sur cette question se trouvaient 
épars dans de nombreux recueils; les géomètres 
seront heureux maintenant de les trouver rassem- 
blés dans les deux volumes ! où l'éminent profes- 
seur de Güttingen vient de réunir ses œuvres. Je 
tiens à citer particulièrement la méthode à laquelle 
M. Schwarz donne le nom de procédé alterné; 
elle a pour objet de démontrer que, si l’on sait 
résoudre le problème de Dirichlet, pour deux con- 
tours ayant une partie commune, on saura le ré- 
soudre pour le contour limitant extérieurement 
l’ensemble des deux aires. Elle me parait d'un 
“grand intérêt, et avec des modifications conve- 
nables, elle peut être employée dans l'étude d’un 
| grand nombre d’autres équations aux dérivées 
partielles. Le problème de Dirichlet se pose dans 
plusieurs questions de physique; contentons-nous 
de rappeler qu'on y est amené quand on veut avoir 
la tempéralure des points d'un corps, l'équilibre 
calorifique étant établi et la température étant 
donnée à la surface. 
Nous avons jusqu'ici considéré le plan où se 
meut le point (+,7) comme un plan simple. Une 
notion plus générale joue, dans l'analyse moderne, 
un rôle essentiel, je veux parler du plan multiple, 
c'est-à-dire du plan recouvert de feuillets infiniment 
rapprochés soudés les uns aux autres le long de 
1 Gesammelte Mathematische Abhandlungen von H, A. Scuwarz 
Berlin, 1890. 
