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E. PICARD. — REVUE ANNUELLE D’ANALYSE 
certaines lignes; on donne à l’ensemble de ces 
feuillets le nom de surface de Riemann. On rem- 
place quelquefois aujourd’hui cette notion par une 
autre, identique au fond, mais peut-être plus facile 
à saisir. Considérons dans l’espace une surface 
fermée, c'est-à-dire n'étant limitée par aucune 
ligne el contenant un certain nombre p de trous; 
la surface du tore offre un exemple correspondant 
à p— 1, et une surface convexe que l’on munirait 
de p anses nous donne une représenlalion géné- 
rale d'une telle surface. On peut, sur celle-ci, 
tracer 2 circuits qui ne soient pas susceptibles de 
se réduire les uns aux autres où à un point par 
une déformation continue. On prendra, par exem- 
ple, un circuit autour de chaque trou, et un à tra- 
vers chaque trou; on aura ainsi dars le tore un 
parallèle et un méridien. Geci posé, l'équation (1) 
considérée plus haut correspondait au plan simple; 
à la surface actuelle on peut faire correspondre une 
équation analogue. Cette belle extension à été 
faite par M. Beltrami; l'interprétation hydrodyna- 
mique ou électrique est manifestement la même 
que dans le cas du plan. Dans un ouvrage récent !, 
M. Félix Klein a insisté sur cette interprétation el 
démontré, en quelque sorte physiquement, les prin- 
cipales propriétés des intégrales abéliennes, Sup- 
posons, en effet, que notre surface soit conductrice 
et que les 2p circuits fermés indépendants, dont il 
a été question tout à l'heure, soient le siège d’une 
force électromotrice constante. Un régime de cou- 
rants s'établira sur la surface, et Le potentiel cor- 
respondant sera partout fini, avec une infinité de 
déterminations, car il augmente d'une quantité 
proportionnelle à la force électromotrice à chaque 
passage à travers une coupure. Il y aura 2p poten- 
tiels de cette nature Enéairement indépendants ; 
on peut les associer deux à deux en unissant à 
chaque potentiel les lignes de courant correspon- 
dantes. Si wetv désignent deux fonctions asso- 
ciées, les p combinaisons « — iv correspondent aux 
intégrales de première espèce, attachées à la surface 
de Riemann dont nous sommes parti. Ce genre de 
considération n’est pas sans doute entièrement 
satisfaisant au point de vue de la rigueur; il n’en 
présente pas moins un grand intérêt, comme don- 
nant une forme concrète à des spéculations abs- 
traites sur les fonctions algébriques, et montrant 
le lien étroit qui unit quelquefois des ordres d'idées 
en apparence bien différents. 
Revenons maintenant à la théorie proprement 
dite des fonctions analytiques d'une variable com- 
plexe. Elle a été, dans ces dernières années, une 
des branches les plus cultivées de l'Analyse mathé- 
1 Uber Riemann’s Theorie der alsebraischen Functionen 
und ibrer Integrale, eine Ergänzung der gewôhnlichen Dars- 
tellungen. Leipzig, 4882, 
matique. L'emploi de théorèmes généraux, per- 
mettant souvent d'éviter de longs calculs et de 
donner des démonstrations en quelque sorte syn- 
thétiques satisfait pleinement l'esprit et explique 
bien l'attrait que ces recherches ont exercé sur 
beaucoup de géomèêtres de notre temps. N'ou- 
blions pas d’ailleurs que les travaux de Liouville 
et de M. Hermite sur les fonctions doublement pé- 
riodiques avaient, il y a plus de quarante ans, 
donné un mémorable exemple de la fécondité des 
principes de Cauchy. La publication en 1876 d’un 
mémoire de M. Weierstrass sur les fonctions uni- 
formes fut un événement pour les analystes. La 
découverte capitale de l'illustre auteur consiste à 
avoir étendu aux fonctions transcendantes la dé- 
composition en facleurs trouvée pour les polyno- 
mes dès les débuts de l'algèbre. Je ne puis m’éten- 
dre sur toutes les recherches provoquées par ce 
travail; rappelons au moins les beaux mémoires 
de MM. Mitiag Lefller, Appell et Goursat. Le déve- 
loppement des théories générales permit d’appro- 
fondir l’étude de fonctions spéciales ; parmi celles- 
ci, il n'en est pas qui excitèrent plus dans ces der- 
nières années l'intérêt des géomètres que ces 
fonctions désignées sous le nom de fonctions fuch- 
siennes par M. Poincaré à qui on en doit la décou- 
verte. Ce fut une généralisation bien remarquable 
des fonctions modulaires éludiées par M. Hermitle 
dans la théorie des fonctions elliptiques, et possé- 
dant un nombre infini de points singuliers distri- 
bués le long d’un cercle. À l’aide des fonctions 
fuchsiennes, on peut représenter les coordonnées 
d'un point arbitraire d'une courbe algébrique 
quelconque par des fonctions uniformes d’un pa- 
ramètre ; ce résultat si profond montre assez l'in- 
térêt des nouvelles fonctions. 
J'ai dit plus haut la perfection à laquelle était 
arrivée la théorie générale des fonctions analy- 
tiques d’une variable. Il s’en faut qu'il en soit de 
même quand on passe aux fonctions de plusieurs 
variables; ici les difficultés restent considérables. 
Un des résultats les plus saillants obtenus dans 
ces derniers temps est l'extension aux intégrales 
doubles du théorème fondamental de Cauchy rela- 
tif aux intégrales simples prises le long d’un con- 
tour fermé; elle a été faite par M. Poincaré. L’ave- 
nir montrera sans doute l'importance de cette 
extension. J'ai de mon côté cherché à approfondir 
la théorie des fonctions algébriques de deux va- 
riables; cette étude fait bien voir les différences 
profondes qui existent entre ce cas et celui d'une 
seule variable et combien l’analogie, qui sisouvent 
est un guide excellent, peut devenir trompeuse. 
Au surplus, il apparaît bien à priori que la théorie 
d'une fonction analytique de deux variables com- 
plexes est de toute autre nature que celle d'une 
