E. PICARD. — REVUE ANNUELLE D'AN 
ALYSE 705 
fonction d’une wariable, Bornons-nous à la partie 
réelle de la fonction; nous aurons dans le second 
cas une fonction de deux variables réelles unique- 
ment assujettie à vérifier l’équation (1) précédem- 
ment écrite: dans le premier cas, il s'agira d'une 
fonction de quatre variables réelles devant satis- 
faire à quatre équations aux dérivées partielles 
faciles à former. Il est clair que, dans ces condi- 
tions, le développement des deux théories ne peut 
être parallèle, et c'est ainsi, pour ne citer qu'un 
simple mais bien mémorable exemple, que les 
quatre paires de périodes d'une fonction analytique 
uniforme quadruplement périodique ne peuvent 
être arbitraires. 
Il 
Il n’est pas de question plus intéressante pour 
les applications que l'étude des équations diffé- 
rentielles; c'est véritablement l’objet du calcul 
intégral. Le développement de la théorie des 
fonctions analytiques a eu là une très heureuse 
influence. Les théorèmes généraux relatifs à l'exis- 
tence des intégrales el aux conditions qui les 
définissent sont meintenant devenus classiques. | 
En ce qui concerne les équations différentielles à 
une seule variable, c’est surtout dans la théorie des 
équations linéaires qu'ont élé réalisés de très 
grands progrès. On ferait une bibliothèque avec 
les mémoires publiés depuis vingt ans sur ce genre 
d'équations, dont diverses classes ont été inté- 
grées à l'aide de transcendantes simples, et un 
résultat très général a été obtenu par M. Poin- 
caré qui a montré qu'avec des transcendantes ana- 
logues aux fonctions fuchsiennes on pouvait inté- 
grer une classe extrêmement étendue d’équalions 
linéaires à coefficients algébriques. Plusieurs ques- 
tions d’algèbre et de géométrie d'un grand inté- 
rêt sont aussi intimement liées à la théorie des 
équations linéaires, en particulier l'étude des 
groupes d'ordre fini qui à fait l'objet d'un des 
plus beaux mémoires de M. Jordan. 
Les progrès ont élé moindres dans la théorie 
des équations non linéaires. L'ignorance où l'on 
se trouve généralement de la facon dont les cons- 
lantes arbitraires figurent dans l'intégrale géné- 
rale rend très difficile l'étude de celle-ci. Un cas 
semble particulièrement simple; c’est celui où 
celte intégrale est une fonction uniforme de la 
variable. Sauf pour les équalions du premier ordre, 
on ne peut malheureusement reconnaitre s’il en 
est ainsi; des conditions nécessaires, de nature 
algébrique, sont faciles à lrouver, mais il fau- 
drait, en général, adjoindre à celles-ci des condi- 
tions de nature transcendante qu'il parait bien 
diflicile de former. Les cas où les premières condi- 
lions sont suffisantes n'en sont que plus intéres- 
san{s; on en trouve un exemple remarquable dans 
le beau mémoire de Mme Kowaleski, relatif au 
mouvement d'un corps solide pesant autour d'un 
point fixe, que l’Académie des Sciences à couronné 
il y a deux ans. Mme Kowaleski cherche dans quels 
cas les neuf cosinus qui fixent la position des axes 
principaux de l’ellipsoïde d'inertie du corps relatif 
au point fixe sont, quelles que soient les données 
initiales, des fonctions uniformes du temps. Le cas. 
traité par Lagrange, du mouvement d’un corps 
pesant de révolution suspendu par un point de son 
axe, offre un exemple d’une telle circonstance; les 
transcendantes de la théorie des fonctions ellip- 
tiques permettent alors de résoudre le problème. 
Mme Kowaleski a montré qu'il existe un autre cas 
et un seul: c'est celui où, désignant par A, B, C, 
les axes principaux de l’ellipsoïde d'inertie, on a 
A—B—72 Cet où le centre de gravité du corps 
se trouve dans l'équateur de l’ellipsoïde. Lei c’est à 
l'aide des (ranscendantes de la théorie des fonc- 
tions abéliennes que s'effectue l'intégration com- 
plète. 
L'étude des équations aux dérivées partielles 
estla plus difficile de l'Analyse ; la géométrie infini- 
tésimale et la physique mathématique sont gran- 
dement intéressées à ses progrès. Les équations 
du premier ordre ont fait l'obiet d'immenses {ra- 
vaux, et cette théorie est une des plus parfaites du 
calcul intégral; cette perfection toutefois est, peul- 
être, plus dans la forme que dans le fond, car les 
théorèmes si beaux el quelquefois si profonds de 
la théorie ont généralement pour objet de ramener 
un problème non résolu à un autre qui ne l’est pas 
davantage. Ces transformations n'en ont pas moins 
un très grand intérêt, el, en particulier, les der- 
nières recherches de M. Lie sur ce sujet, sorte de 
synthèse des méthodes antérieures, méritent de 
devenir classiques. Pour le cas du second ordre, 
la réduction de l'intégration de l'équation à l’inté- 
gration d’un système d'équations différentielles 
ordinaires n’a pas jusqu'ici été effectuée, et ne le 
sera sans doute pas de longtemps. Dans cet ordre 
d'idées, une intéressante addition aux mémoires 
célèbres de Monge et d'Ampère a été faite en 1870 
par M. Darboux. On peut se placer, dans la théo 
rie des équations aux dérivées partielles, à un 
tout autre point de vue et chercher, non l’inté- 
grale générale, mais une intégrale déterminée par 
cerlaines conditions aux limites. Ce second pro- 
blème intéresse particulièrement la physique ma- 
thématique; il est distinct du premier, et, le plus 
souvent même, la connaissance de l'intégrale gé- 
nérale avec des fonctions arbitraires n’est d'aucun 
secours pour solution, Les conditions aux 
limites peuvent être extrèmement variées. Ainsi, 
pour les équations du second ordre à deux va- 
riables, une 
sa 
intégrale supposée continue sera, 
