706 
E. PICARD. — REVUE ANNUELLE D'ANALYSE 
comme je l'ai montré, déterminée dans des cas 
très nombreux par la valeur qu’elle prend le long 
d’un contour fermé; dans d’autres cas, on devra 
se donner le long d'une courbe la valeur de l'inté- 
grale et d’une de ses dérivées du premier ordre, el 
les quelques pages consacrées incidemment à ce 
sujet par Riemarn, quand l'équation est linéaire, 
ne sont pas une des moins belles productions de 
l'illustre analyste. Prenons un exemple plus spé- 
cial dans la théorie analytique de la chaleur de 
Fourier; ce grand ouvrage, plus admiré que lu, 
pourra maintenant être aisément étudié grâce à 
M. Darboux qui vient d'en publier une nouvelle 
édition, et l’a enrichie de notes précieuses com- 
mentant la pensée de l’auteur dans les endroits 
difficiles ou obscurs. Le problème du refroidisse- 
ment d'un solide rayonnant revient, d'après Fou- 
rier, à déterminer une fonction V(r, y, z, {) satis- 
faisant à l'équation 
pour Lous les points du corps V doit se réduire, 
pour {—0 ,à une fonction donnée de +, y,z; de 
plus à la surface du corps on doit avoir, pour 
IN 
toute valeur du temps : n + AN = 0, % étant une 
412 
constante dépendant du pouvoir émissif. Quoique 
le problème soit posé depuis longtemps et que la 
voie ouverte par Fourier pour sa solution semble 
bien féconde, on peut dire que le problème n'est 
pas encore d'une manière rigoureuse. 
M. Poincaré, reprenant récemment la question, a 
montré combien la convergence des séries em- 
ployées était probable; mais de nouvelles re- 
cherches sont encore nécessaires. Il en est d’ail- 
leurs de même, il faut bien l'avouer, pour plusieurs 
développements usités en physique mathématique ; 
on se prend parfois à douter que la solution dite 
simple Soil, au moins au point de vue mathé- 
malique, le véritable élément pour la solution 
complète de plus d’un problème. Quoi qu'il en soit, 
c'est dans la recherche des intégrales avec des 
conditions aux limites que doivent surtout porter, 
je crois, les efforts des géomètres qui s'occupent 
des équations aux dérivées partielles. 
Toutes les parties des mathématiques sont étroi- 
tement liées les unes aux autres, et des notions 
d'abord restreintes à un domaine spécial sont 
susceptibles de prendre une extension inattendue. 
Telle est la notion de groupe. Depuis Galoiïs la théo- 
rie des groupes de substitutions joue en algèbre 
un rôle capital; une théorie analytique, présen- 
tant avec celle-ci une grande analogie, vient 
d'être développée par M. Sophus Lie dans deux 
résolu 
volumes ! qui compteront parmi les travaux 
mathématiques les plus importants de notre 
temps. M. Lie étudie les groupes de transformations; 
soient 
nr (C1 Lo del.-e CT Cor ee Le) UM 2 = 
n relations, dépendant de 7 arbitraires 4, établis- 
sant une transformation entre les variables æ et æ'. 
Ces relations définissent un groupe, si deux trans- 
formations de cette forme effectuées successive- 
ment donnent une transformation rentrant dans 
le même type. M. Lie a fait la découverte capitale 
que la recherche de tous ces groupes, pour un 
nombre donné de variables et de paramètres, se 
ramène à l'intégration d'équations différentielles 
ordinaires. Indiquons quelques résultats particu- 
liers bien curieux. Quand il n’y a qu’une seule va- 
riable {a — 1) le groupe peut, par un choix conve- 
nable de cette variable, être ramené au groupe 
linéaire et contient donc au plus trois paramètres. 
Dans le cas de deux variables, le groupe ne pourra 
pas contenir plus de huit paramètres, s’il n’existe 
_pas de famille de courbes, © (x, y) = const., que 
ce groupe transforme en elle-même. La théorie de 
M. Lie est d’une grande importance pour le calcul 
intégral; elle ne se borne pas d’ailleurs aux trans- 
formations de points, mais s'occupe aussi des trans- 
formations de contact si intéressantes dans l’ana- 
lyse des équations aux dérivées partieiles. L’émi- 
nent géomêtre norwégien a aussi abordé l'étude 
des groupes continus d'ordre infini et exposé les 
principes généraux de la recherche des invariants 
des équations différentielles. L'étude détaillée de 
ces invariants a été faite, il y a quelques années, 
par Halphen pour les équations linéaires; tout 
récemment, M. Appell s’est occupé des invariants 
des équations du premier ordre et du premier 
degré, et M. R. Liouville de ceux d'une classe, 
d'équations du second ordre. 
III 
La théorie des groupes m'amène à parler des 
hypothèses sur lesquelles repose la géométrie. 
Celles-ci ont fait dans notre siècle l’objet de pro- 
fondes recherches; ce ne serait pas ici le lieu d'en 
faire l'historique complet. Je veux cependant m'ar- 
rêter un moment sur ce sujet d’un si grand intérêt 
philosophique. Le mémoire de Riemann (Uber die 
Hypothesen welche der Geometrie zu grunde lie- 
gen, OEuvres complètes) est fondamental. Le grand 
géomètre cherche à fixer la notion d'une multi 
plicité ou d’un espace à 7 dimensions ; d’après lui, 
son vrai caractère consiste en celte propriété que 
la détermination de position dans cet espace peut 
l Théorie der Transformationgruppen, von Sophus Le, 
Leipzig, 1888 et 1890. 
