E. PICARD. —- REVUE ANNUELLE D'ANALYSE 
tre ramenée à » déterminations de grandeurs, 
c’est-à-dire que la position d’un point se trouve 
représentée au moyen de # variables z,, æ,,...,æ. 
Nous devons alors étudier les mesures dont est 
susceptible un tel espace. Il est d’abord nécessaire 
d'établir une expression mathématique pour la 
longueur d’une ligne. D’Alembert dit quelque part 
que la définition et les propriétés de la ligne 
droite sont l’écueil el, pour ainsi dire, le scandale 
des éléments de la géométrie ; au point de vue où 
se place Riemann, il n’y a plus de scandale et nous 
voyons nettement ce qu'il y a d’arbitraire dans la 
définition de la longueur. Partageant la ligne en 
éléments, on ramène le problème à établir pour 
chaque point une expression générale pour l’élé- 
ment linéaire ds, qui contiendra alors les quantités 
Ti, To, d et les accroissements dx,, dr,,..., dt. 
Cette expression sera une fonction homogène des 
quantités dx et du premier degré, dans laquelle 
les constantes seront des fonctions continues 
des +. Riemann se borne à examiner le cas le plus 
simple où ds est la racine carrée d'une forme qua- 
dratique en dr loujours positive, dans laquelle les 
coefficients sont des fonctions continues des x. 
Rien n’empêcherait de faire des hypothèses plus | 
générales, de supposer par exemple que ds est la 
racine quatrième d’une forme biquadratique; l’é- 
tude de ces cas n’exigerait pas de principes nou- 
veaux, mais ne nous apprendrait rien de plus sur 
la théorie de l'espace. Partons donc de ds° repré- 
senté par une forme quadratique; celle-ci étant 
donnée, les lignes géodésiques de l’espace seront 
immédiatement définies par leurs équations diffé- 
rentielles. Remarquons maintenant que la forme 
n(n +1) 
renferme 
®) 
quadratique coefficients, 
fonctions arbitraires des z; en changeant les va- 
riables, on peut donner à x de ces coeflicients 
n(n—1) 
2 
sont alors déterminés. Il y a donc en chaque point 
n(n—1) 
telles valeurs que l’on veut; les autres 
de notre espace fonctions invariantes 
qui sont caractéristiques de cet espace. Prenons 
alors trois points très rapprochés, et joignons 
deux d’entre eux B et C par une géodésique L, 
puis considérons l’ensemble des géodésiques joi- 
gnant le premier point À à tous les points de L; 
l’ensemble de ces lignes formera une surface à 
deux dimensions. Cette surface a au point À une 
cerlaine courbure (au sens de Gauss); ce sera la 
courbe de l’espace en A dans la direction de l’élé- 
ment de surface que nous avons construit. Si l'on 
connait la courbure de l’espace correspondant à 
n(n—1A) .. S ne: ne 
rs directions arbitraires d’éléments de 
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surface, on la connaïtra dans toute autre direction. 
Cette courbure sera, en général, variable avec la 
direction de surface que l’on envisage. Un cas re- 
marquable est celui dans lequel la courbure est en 
chaque point la même dans toute direction, et ne 
varie pas d'un point à l’autre; on dit alors que 
l'espace est à courbure constante. Un caractère fon- 
damental des espaces à courbure constante est 
qu'on peut dans ces espaces déplacer une figure 
sans altérer ses longueurs et procéder, dans les 
démonstrations, par superposilion des figures. 
Mais il y a ici une distinction importante à faire : 
la courbure peut être positive ou négative. A l'hy- 
pothèse que l’espace a une courbure constante 
négative s'attache un intérêt historique considé- 
rable. Car s'est à cette hypothèse qu'on fut con- 
duit d’abord pour le cas de deux dimensions, non 
pas en suivant la voie de Riemann, mais d'une ma- 
nière plus élémentaire. Lobatschewsky chercha 
le premier (en exceptant les travaux inédits de 
Gauss) à édifier une géométrie sans faire usage du 
célèbre axiome d’Euclide. Laissant de côté cet 
axiome, Legendre avait montré que la somme des 
angles d’un triangle ne peut dépasser deux droits; 
mais sa démonstration, il ne faut pas l'oublier, 
suppose que l’espace est infini. Partant de la 
même idée, Lobatchewsky réussit à construire une 
géométrie, qui n'est autre que celle de l’espace à 
courbure constante négative, dans laquelle la 
somme des angles d'un triangle est moindre que 
deux angles droits. M. Beltrami donna plus tard 
de cette géométrie, souvent appelée non eucli- 
dienne, une représentation remarquable en mon- 
trant que la géométrie plane du géomètre russe 
est identique à la géométrie sur les surfaces à 
courbure constante négative. Dans l'hypothèse où 
la courbure constante est positive, cas auquel 
Riemann s’est attaché de préférence, des circons- 
tances toutes différentes se présentent. Ici l’espace 
n'est plus infini, c'est-à-dire que les distances sur 
une géodésique sont finies, et la somme des angles 
d’un triangle dépasse deux droits. Entre la géo- 
métrie de Lobatchewsky et celle de Riemann se 
trouve notre géométrie ordinaire ou euclidienne, 
qui correspond aux espaces dans lesquels la cour- 
bure contante est nulle. 
Nous avons dit plus haut que, dans les espaces 
à courbure constante, on pouvait déplacer une 
figure sans altérer ses longueurs. C’est en étudiant 
ces déplacements, qui pour l’espace à trois dimen- 
sions dépendent de six paramètres, qu'on peut 
envisager à un nouveau point de vue les hypo- 
thèses fondamentales de la géométrie. M. Helmoltz 
a appelé autrefois l'attention sur cette question 
| qui se rattache aux théories de M, Lie. Ces dépla- 
cements forment en effet nécessairement un 
