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E. PICARD. — REVUE 
ANNUELLE D'ANALYSE 
groupe au sens du savant norwégien. M. Poincaré, 
dans quelques pages remarquables, vient d'appro- 
fondir la question pour le cas du plan. Il suppose 
d'abord qu'il existe un groupe de mouvements à 
trois paramètres et fait en outre l'hypothèse 
qu'une figure reste immobile quand deux de ses 
points restent immobiles. Dans ces conditions, on 
obtient les géométries des espaces à courbure 
constante positive ou négalive, dont nous avons 
parlé plus haut, avec la géométrie euclidienne 
comme cas intermédiaire, et en outre une autre 
géométrie non encore signalée. M. Poincaré donne 
de ces géométries une interprétation élégante en 
les rapportant aux diverses surfaces du second 
degré. La dernière, qui se rapporte à l'hyperbo- 
loïde à une nappe, étonne au premier abord. En 
fait, si l’on revient à l'élémentlinéaire de Riemann, 
il me semble qu’elle correspond simplement au ds? 
des espaces à courbure constante, mais avec une 
forme quadratique quin’a pas unsigne invariable. 
C’est ainsi qu'il arrive dans ce cas que la distance 
de deux points peut être nulle, sans que ces deux 
points coïncident. L'étude d'une géomètrie au point 
de vue qui nous occupe maintenant est donc l'étude 
d'un groupe de mouvement; comme conséquence 
de l'existence initiale d’un tel groupe. on ne doit 
alors prendre pour le carré del’élément linéaire que 
des formes quadratiques invariantes pour les trans- 
formations d'un groupe convenable. Cette étude 
mériterait d'être faite d’une manière complète 
pour le cas de trois dimensions. 
IV 
Entre les considérations précédentes et la géo- 
métrie infinitésimale des surfaces, la transition est 
immédiate. L'expression du carré de l'élément di- 
néaire y joue un rôle essentiel, el les vues de Rie- 
mann que nous venons d'indiquer ne sont qu'une 
extension des idées de Gauss relatives à la cour- 
bure des surfaces. M. Darboux vient de publier 
les leçons qu'il a consacrées à cette théorie. C'est 
un véritable monument élevé à la théorie des sur- 
faces et à l'analyse des équations aux dérivées par- 
lielles. La première partie du troisième volume vient 
de paraître !. Les chapitres relalifs aux surfaces 
applicables seront particulièrement remarqués. On 
dit, comme on sait, depuis Gauss, que deux surfaces 
sont applicables l'une sur l'autre, quand on peut éta- 
blir entre les point des deux surfaces une corres- 
pondance telle que deux ares correspondants quel- 
conques aient même longueur. M. Darboux, après 
Liouville et M. Bonnet, reprend le problème de re- 
connaitre si deux surfaces données sont applicables 
1 G. Darboux. Leçons sur la théorie générale des surfaces. 
Troisième partie, premier fascicule, 1890. 
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l’une sur l’autre. En général, quand lapplication 
est possible, elle est déterminée, c’est-à-dire ne 
dépend pas de paramètres arbitraires. Il n'y a 
d'exceplion que pour les surfaces à courbure cons- 
tante et les surfaces applicables sur les surfaces 
de révolution. Signalons encore ce beau problème 
posé et résolu par M. Darboux : une surface étant 
donnée ainsi qu'une courbetracée surelle, peut-on 
déformerla surface de manière que la courbe vienne 
coïncider avee une courbe donnée dans l’espace ? 
Le problème est toujours déterminé, quand la 
courbure en chaque point de la seconde courbe 
u'est pas égale à la courbure géodésique (sur la 
surface) de la première au point correspondant, ré- 
sultat remarquable qui se rattache aux parties les 
plus élevées de la théorie des équations aux dé- 
rivées partielles du second ordre. 
Parmi les surfaces jouissant de quelques proprié- 
tés spéciales relatives à la courbure, les surfaces à 
courbures constante et les surfaces minima ont 
fait l’objet de travaux extrêmement nombreux. On 
ne sait pas encore trouver aujourd'hui toutes les 
surfaces à courbure constante, mais les recherches 
de MM. Lie, Bianchi et Darboux ont appris à en 
trouver un très grand nombre. L'intégration de 
l'équation des surfaces minima, c’est-à-dire des 
surfaces pour lesquelles les rayons de courbure 
sont en chaque point égaux et designes contraires, 
a été effectuée il y a longtemps. Assez récemment, 
les travaux de Weierstrass, Lie et Schwarz ont 
donné une nouvelle impulsion à l'étude de ces sur- 
faces. Toutefois le problème initial de cette théorie 
est loin d'être complètement résolu. Prenant dans 
l'espaceune courbe fermée, Lagrange s’est demandé 
quelle est la surface passant par cette courbe et 
sur laquelle l’aire limitée par cette courbure est 
minima : il a montré que cette surface devait avoir 
en chaque point ses rayons de courbure égaux el 
de signes contraires. La recherche effective des 
surfaces minima passant par un contour fermé 
donné n’a encore été faite que dans des cas parti- 
culiers qui ont été magistralement exposés par 
M. Darboux dans le premier volume de l’ouvrage 
cité plus haut. La solution expérimentale du pro- 
blème est facile. Il suffit, comme l’a fait Plateau, 
de plonger le contour dans un liquide glycérique; 
quand on sort ce cadre du liquide, une lame mince 
reste adhérente : c'est une surface minima. 
Je termine ici cette rapide revue ; si incomplète 
qu’elle soit, elle suffira, j'espère, à montrer quelle 
est l’activité de la pensée mathématique. Je vou- 
drais aussi avoir réussi à montrer, sous la variété 
des sujets, l'unité de cel ensemble que l’on appelle 
les sciences mathémaliques. 
Em. Picard, 
de l'Académie des Sciences. 
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