MAURICE LÉVY. — L'HYDRODYNAMIQUE MODERNE 
pendant la même période; ce second rapport a été 
présenté à la session de 1882. 
Pour compléter ces indications générales, je dois 
mentionner un travail historique très bien fait, 
publié en France, par M. Brillouin, dans un recueil 
d’un haut intérêt, quoiqu'en raison de son origine 
récente, il n’aie pas encore toute la notoriété qu'il 
mérite el qu'il acquerra : les Annales de la Faculté 
des Sciences de Toulouse. Le travail de M. Brillouin 
se trouve dans le volume de 1885. 
IT. — 1YDROCINÉMATIQUE 
5. Les progrès accomplis en Hydrodynamique 
sont, les uns, — et ceue sont pas les moins impor- 
tants, — d'ordre purement cinématique, et les 
autres d'ordre mécanique. 
La Cinémalique des fluides, ou plus générale- 
ment la Cinématique des matières continues, a élé, 
comme tant de branches de la science, fondée, de 
toules pièces, par Cauchy. 
Cauchy a montré que, par le seul fait de la con- 
tinuité supposée à un fluide, de la continuité et 
de l’uniformité supposées aux vitesses de ses dif- 
férents points, découlent, dans la répartilion de ses 
vitesses autour de chaque point, des propriétés 
générales et rigoureuses de même nature que celles 
qu'enseigne la théorie de la courbure des surfaces. 
Elles se classent en deux espèces : celles qui se 
rapportent à la déformation de chaque particule in- 
finiment petite de fluide, et celles qui se rapportent 
à son mouvement absolu. 
Si l’on considère, à un instant donné, tous les élé- 
ments linéaires fluides de longueurs infiniment 
petiles, issues d’un point d'un fluide en mouve- 
ment, leurs vitesses de dilatations ainsi que les vi- 
tesses avec lesquelles varient les angles qu'ils font 
entre eux, s'expriment rigoureusement à l’aide 
d’une cerlaine fonction du second degré des cosi- 
nus de leurs directions, cette fonction du second 
degré jouant exactement le même rôle que l’indi- 
calrice dans la théorie de la courbure des surfaces. 
Il existe, à chaque instant et en chaque point 
d’un fluide en mouvement, trois directions rectan- 
gulaires et, en général, seulement trois, qui pos- 
sèdent celte propriété : que les vitesses avec les- 
quelles varient les angles des éléments fluides 
placés suivant ces directions sont rigoureusement 
nulles ou, si l’on veut, que pendant un temps infi- 
miment pelit dé, le trièdre trirectangle que forment 
ces éléments reste trirectangle (aux infiniment 
petits près de l’ordre de d/°). 
Si, à présent, on envisage les rotations angu- 
laires des éléments linéaires issus d’un point, il 
résulte de ce qui vient d'être dit que les trois 
arêtes et, par suite, les trois faces de ce petit 
trièdre trirectangle fluide, ont, à l'instant consi- 
+ 
déré, rigoureusement la même vitesse angulaire, 
comme si ce trièdre était solide. 
De plus, il se trouve que deux éléments linéaires 
symétriques par rapport à l'une des faces de ce 
trièdre ont, relativement au trièdre, des vitesses égales 
et opposées ou, en moyenne, nulles. 
Voilà pourquoi Cauchy a appelé la rotation du 
trièdre : rotation moyenne du fluide au point et à 
l'instant considérés !, 
On peut aussi donner de la rotation moyenne 
une définition mécanique : ce serait la rotation que 
prendrait une sphère fluide de rayon infiniment 
petit décrite autour du point considéré comme 
centre, sielle venait à être brusquement solidifiée, 
C'est celte rotation qu'Helmholtz a appelée un 
tourbillon (Wirbel) ou une rotation moléculaire. 
Ainsi, un mouvement non tourbillonnaire est 
celui où ces rotations sont nulles ?. 
6. Un mouvement peut être tourbillonnaire dans 
une parlie d’un fluide et non tourbillonnaire dans 
une autre, parce que le mouvement d’un fluide est 
continu si les composantes des vitesses sont des 
fonctions continues, alors même que leurs dérivées 
partielles premières et, par suite, les composantes 
des rotations moléculaires, présenteraient des dis- 
continuités. 
Les vitesses elles-mèmes peuvent en présenter, 
ainsi qu'on le dira plus loin. 
1. Ces préliminaires posés, si l’on veut avoir une 
idée exacte des progrès accomplis sur ce point 
fondamental de l'Hydrocinématique, il faut re- 
monter à Lagrange. 
Lagrange, dans la Mécanique analytique, a lon- 
guement insislé sur un théorème qui, aujourd'hui, 
s’énoncerail ainsi : Si, en un point d'un fluide en 
mouvement, la rotation moyenne est nulle à un 
certain instant, elle est nulle toujours; ou, sous 
une forme moins rigoureuse, mais peut-être plus 
compréhensive : wne particule fluide qui ne tourne 
pas à un cerlain instant, ne tournera jamais. 
On sous-enltend dans cet énoncé: 1° que les 
forces agissantes sont conservalives ou dérivent 
d'une fonction de forces ; 2° qu’il existe une rela- 
1 Si l’on désigne par £, », ç, les composantes de cette rota- 
tion; par #, vw, w, les composantes de la vitesse au même 
point, par +, y, z, les coordonnées de ce point à l'instant 
considéré, Cauchy a montré qu’on à simplement : 
DRE OMR US 
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a 22 Du 22 ; 
QE RS (1) 
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se ed "Du 
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? C'est-à-dire un mouvement tel que les composantes rec 
tangulaires #, », w, de la vitesse soient les dérivées partielles 
d’une mème fonction de &, y, z, t, appelée fonction ou potentiel 
des vitesses. 
