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MAURICE LÉVY. — L'HYDRODYNAMIQUE MODERNE 
tion entre la pression et la densité du fluide, con- 
ditions dynamiques généralement remplies, la 
première exactement, la seconde plus ou moins 
approximativement et qui, ensemble, se tradui- 
sent par cette condition cinématique que les accé- 
lérations dérivent d'une fonction d'accélérations. 
8. La démonstration que Lagrange a donnée de 
ce (héorème permettait de croire qu'il peut être 
sujet à d'innombrables exceplions. C’est encore à 
Cauchy que revient l'honneur de l'avoir établi 
d'une façon définitive, 
Ce théorème est capital en ce que, parmi les élé- 
ments purement cinématiques d'un fluide en mouve- 
ment, il en fait découvrir un: à savoir la rotation 
moléculaire, qui est ndestructible par les forces de 
la nature, par les forces conservatives qui agissent 
sur le fluide, aussi bien que par les pressions de 
celui-ci, Si la rotation n'existe pas, elle ne naitra 
pas, et, si elle est née, elle subsistera. Elle ne peut 
naître ou s’éteindre que par des chocs brusques, 
par des forces impulsives. 
Un être qui possède de telles propriétés ne sau- 
rait être sans importance dans la nature. 
Du temps de Lagrange, on ne connaissait que la 
masse qui les possédàt : depuis, Sadi Carnot el 
Robert Mayer ont découvert que l'énergie les pos- 
sédait aussi. Mais qu'un être purement géomé- 
trique, purement cinématique les possède à son 
tour, cela est nouveau et inattendu. Est-ce le pré- 
sage lointain de cette ère souvent prédite où les 
notions de force et de masse disparaitront et où 
la Cinématique prendra la place de la Mécanique ? 
En tous cas, on voit combien ce théorème de La- 
grange est suggestif, et combien il était utile que 
Cauchy vint en établir la certitude absolue. 
Plus tard, en 1846, une autre démonstration en 
a été donnée par Stokes. 
9. Mais ce n'est qu'en 1858 qu'il est sorti de 
l'ombre et presque de l'oubli, par le mémoire 
d'Helmholtz : Uber integrale der Hydrodynamischen 
Gleichungen, welche den Wirbelbewequngen entsprechen. 
Concevons qu'à un instant donné, au sein d'un 
fluide animé d'un mouvement tourbillonnaire, on 
mène par chaque point du fluide une ligne Lan- 
gente en tous ses points à la rotation moléculaire 
en ce point i. 
Nous appellerons ces lignes des lignes tourbillon- 
naires (Wir bellinien). 
Si, par tous les points d'une courbe CG on mène 
des lignes tourbillonnaires, on obtient une swface 
tourbillonnaire dont la courbe G est la directrice. 
Si la directrice est une courbe fermée de dimen- 
1 Ces lignes sont définies par les équations différentielles : 
sions infiniment petites, on obtient une surface 
tubulaire. Le fluide qu’elle renferme sera appelé 
un {ube ou un filet tourbillonnaire. 
Cela dit, Helmholtz a montré : 
1° Que tout tube tourbillonnaire se compose 
perpétuellement des mêmes particules fluides ; 
2° Que l'intensité d'un tube tourbillonnaire, 
c'est-à-dire le produit de la section transversale 
en l’un de ses points par la rotation en ce point 
est constante dans toute l'étendue du tube. 
De cette dernière propriété il résulte que les 
lignes tourbillonnaires ne peuvent pas s'arrêter à 
l’intérieur du fluide; qu’elles sont fermées ou se 
prolongent jusqu'à la surface ou jusqu'aux parois 
qui le limitent; 
3° Que l'intensité d’un tube tourbillonnaire, déjà 
constante, à un instant donné, comme nous venons 
de le dire, dans toute la longueur du tube, reste 
aussi, pour ce tube, invariable avec le temps, 
De ces propositions, la seconde est, en quelque 
sorte, de définition !; les autres sont établies 
comme le théorème de Lagrange, en admettant 
l'existence d'une fonction d'accélération. 
10. On peut se demander si l'existence de cette 
fonction, qui est suffisante pour que les théorèmes 
1° et 3° soient vrais, est aussi nécessaire. 
Il est aisé d'établir, à cet égard, les propositions 
suivantes : 
Convenons, pour un instant, d'appeler accélé- 
ration rotatoire une ligne formée, avec les compo- 
santes de l'accélération d’un point d’un fluide, 
comme la rotalion moléculaire l’est, en vertu des 
équations (1), avec les composantes de sa vitesse. 
Alors on a ces deux propositions : 
a) Pour qu'un élément d’une ligne tourbillon- 
naire contienne toujours, pendant son mouvement, 
la même matière fluide, il faut et il suffit que la 
rotation moléculaire de cet élément coïncide en 
direction avec son accélération rotatoire ; 
b). Pour que son intensité ne varie pas avec le 
temps, il faut et il suffit que ces deux lignes soient 
perpendiculaires ; 
c) Donc pour que les deux propriétés existent 
l'une et l’autre, il faut et il suffit que l’accéléra- 
tion rotatoire soit nulle, c’est-à-dire que les com- 
posantes de l'accélération soient les dérivées par- 
tielles d'une même fonction. 
11. Ainsi, si cette dernière condition est remplie, 
ce que nous supposerons désormais, des lignes 
tourbillonnaires en nombre fini ou non, c'est-à- 
dire isolées ou continues placées dans un milieu 
fluide non tourbillonnaire, y conservent indé- 
\ Elle résulte de l'identité : 
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