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MAURICE LÉVY. — L'HYDRODYNAMIQUE MODERNE 127 
sistance qu'elle éprouve. Elle se meut avec une 
+ 
accélération verticale 7 — y ace étant la den- 
1 € 
FE 
silé de la sphère rapportée à celle du fluide. 
La résistance lotale qu'elle éprouve est égale au 
poids du volume d'eau qu’elle déplace multiplié 
3 
2+e< 
La répartition de celte pression sur les différents 
points de la sphère est aussi donnée par une for- 
mule simple. 
4 Pour l’ellipsoïde, le problème se résout éga- 
lement. Les vitesses dérivent du potentiel d'une 
couche de matière comprise entre deux surfaces 
ellipsoïdales. 
- Ilseraïit difficile, dans un article comme celui-ci, 
de préciser les méthodes suivies et d'indiquer 
un grand nombre d'autres résultats très intéres- 
sants, mais se prélant moins bien à des énoncés 
en langage ordinaire, 
par le nombre 
IV. —- ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE L'IHYDRODYNAMIQUE 
16. En dehors des deux grandes questions dont 
je viens surtout de parler, d'autres études ont été 
faites, notamment sur les équations générales de 
l'Hydrodynamique, les mouvements discontinus, 
les mouvements infiniment pelits, etc. 
Les deux formes classiques des équations diffé- 
rentielles de l'Hydrodynamique sont connues sous 
les noms d’Euler et de Lagrange, quoique Euler les 
eût données les unes et les autres en 1755 et 1757 
et que, d'autre part, les unes et les autres aussi 
aient été données plus tard par Lagrange dans la 
mécanique analvtique. 
Dans celles diles d’Euler on prend comme in- 
connues les composantes w, v,#', dela vitesse d'un 
point et la pression p du fluide en ce point, consi- 
dérées comme fonctions du temps {et des coor- 
données x, y, z du point auquel elles se rapportent. 
Ces fonctions inconnues sont définies par un 
système de quatre équations à dérivées partielles 
du premier ordre et certaines conditions initiales 
et à la surface. (On admet qu'il est donné une rela- 
tion entre la pression et la densité du fluide, si 
celui-ci n'est pas incompressible.) 
Si l’on veut ensuite, ce qui, dans la pratique, n’est 
pas toujours nécessaire, avoir, en termes finis, 
les équations du mouvement, c'est-à-dire celles 
qui donnent la position de chaque point en fonc- 
lion du {emps et de sa posilion initiale, il faut 
encore intégrer un système de trois équations 
différentielles ordinaires !. 
! Ces équations sont les suivantes : 
dx è dy d= ù 
— = 1 Us — ), 
PTS CT 
Cette intégration est beaucoup facilitée par les 
théorèmes d'Helmholtz sur les tourbillons. 
Dans les équations de Lagrange on prend di- 
rectement pour inconnues, avec la pression, les 
coordonnés #, y, 2 de chaque point du fluide, con- 
sidérées, aussi bien que la pression, comme fone- 
tions du temps et de la position initiale du point. 
On a alors, entre les quatre fonctions inconnues 
t, Y, 2, p, quatre équations à dérivées partielles, 
dont l’une, celle dite de continuité, du premier 
ordre, les trois autres du second. 
Déjà Cauchy, dans le mémoire plusieurs fois cilé 
sur la théorie des ondes, a, d’un trait de plume, in- 
diqué, dans le cas supposé où les composantes des 
accélérations sont des dérivées partielles, trois 
intégrales intermédiaires ou du premier ordre, des 
équations de Lagrange en en éliminant la pression. 
C'est à l'aide de ces intégrales que le grand géo- 
mètres à établi le théorème de Lagrange dont il a 
été parlé plus haut. Eludiées d'un peu plus 
près, on voit qu'elles contiennent les théorèmes 
d'Helmholtz sur les tourbillons. Ces théorèmes et 
les intégrales de Cauchy ne peuvent exprimer et 
n'expriment, en effet, qu'une seule et même chose. 
Mais cette chose, personne avant Helmholtz ne 
l'avait aperçue. 
En 1868, Weber a fait un pas de plus que Cau- 
chy : il a nettement remplacé les trois équations 
du second ordre de Lagrange par trois équations 
du premier ordre, sans éliminer la pression, mais 
en la remplaçant par une autre fonction inconnue, 
de sorte que l’on a, entre les coordonnées incon- 
nues, æ, 7, z, et la nouvelle fonction inconnue te- 
nant lieu de la pression, quatre équations à déri- 
vées partielles, toutes du premier ordre comme 
dans les équalions d'Euler, Et si l'on peut les in- 
tégrer, on à non seulement les vilesses. comme 
dans les équations d’Euler, mais aussi la position 
du fluide à chaque instant. 
Si l’on élimine la pression ou la nouvelle fonction 
inconnue qui en lient lieu, on retrouve les équa- 
tions de Cauchy. 
17. Quand on veut résoudre ce problème d'Hy- 
drocinématique : trouver les équations différen. 
tielles du mouvement tourbillonnaire le plus gé- 
néral possible, dans lequel les accélérations dé- 
rivent d’une fonction, il faut précisément élimi- 
ner la pression et, avec elles, se trouve éliminée 
la fonction des forces, laquelle, dans le problème 
ainsi posé, reste arbitraire. Or, soit qu'on fasse 
cette élimination à l’aide des équations d’Euler, ou 
à l’aide des équalions de Lagrange, Cauchy ou 
Weber, on a toujours une équation de plus que le 
nombre des inconnues. 
On a qualre équations, dont l'une est celle de 
continuité, tandis qu'on n'a plus que trois incon- 
