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ttj ) Ist gleichlautend mit a. a\ ) Vier Strahlen a b c d 



durch einen Punkt in einer 

 Ebene heissen harmonisch, 

 wenn sie so liegen, dass es 

 möglich ist, ein Vierseit zu 

 construiren, von dem je zwei 

 Ecken auf a und b, je eine 

 Ecke auf c und d liegt, i) 



* Aus diesen Definitionen erhellt unmittelbar, dass, wenn 

 a ß Y ö "^ißr harmonische Elemente sind, dasselbe auch gilt 

 von aß§Y» ßo^Y^» ßa§Y- 



Von vier harmonischen Elementen sind drei (a ß y) 

 willkürlich, das vierte § ist durch die drei früheren bestimmt. 



Man sagt auch : S ist das vierte harmonische Element 

 zu den drei gegebenen Elementen a ß y u, s. w. Die Ele- 

 mente a und ß und ebenso y und d heissen einander zugeordnet. 



Beziehungen zwischen harmonischen Gebilden. 



I. 



a) und «}) Werden vier 

 harmonische Punkte mit einem 

 Punkte verbunden, der nicht 

 auf der Geraden liegt, so sind 

 die vier Verbindungsstrahlen 

 harmonisch. 



Beweis. Seien AB CD vier 

 harmonische Punkte auf der 

 Geraden m, S ein beliebiger 

 Punkt ausserhalb derselben, 

 sei ferner SA=^a, SB=b, 

 SC=^c, SD^=d. Zieht man 

 nun durch A eine beliebige 



a') Werden vier harmo- 

 nische Ebenen durch eine neue 

 Ebene geschnitten (jedoch nicht 

 in ihrer gemeinsamen Schnitt- 

 linie), so bilden die entste- 

 henden Schnittlinien vier har- 

 monische Strahlen. 



Beweis. Seien 31 33 ß ® vier 

 harmonische Ebenen durch die 

 Gerade m und <B eine neue 

 Ebene, die mit m nur einen 

 Punkt (Z) gemein hat und 

 deren Schnittlinien mit % 33, ß, 

 jD beziehungsweise a, b, c, d 



') Vergl. pag. 148, Änm. 3. 



