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AN zwischen A und N, BN zwisclien B und N trifft, AB 

 ausserhalb A und B treffen." ^) 



Seien nun ABC drei Punkte auf einer Geraden g und 

 zwar möge C zwischen A und B liegen; verbindet man nun 

 die drei genannten Punkte mit einem Punkte N, welcher 

 nicht auf der Geraden g liegt, und wählt auf N C einen be- 

 liebigen Punkt Q, zwischen C und N, so muss AQ die Ge- 

 rade BN in einem Punkte P zwischen B und N und BQ, 

 die Gerade A N in einem Punkte M zwischen A und N, 

 also MP die Gerade AB in einem Punkte D ausserhalb 

 AB treffen. — Aehnlich beweisst man, dass D zwischen A 

 und B liegt, wenn C ausserhalb A und B angenommen wird. 



III. 



Sollen a ß Y ö ^^^^ harmonische Elemente sein und 

 bleiben zwei zugeordnete Elemente fest, so können die bei- 

 den andern nur in entgegengesetztem Sinne sich bewegen. ^) 



Beweis (für einen Fall bei vier harmonischen Punkten). 

 Seien AB CD vier harmonische Punkte und zwar C zwi- 

 schen A und B gelegen; sei ferner EFGH ein Viereck, so 

 dass EF und GH durch A, EH und FG durch B, FH 

 und EG beziehungsweise durch C und D gehen. Nimmt man 

 nun einen Punkt C zwischen C und B, so schneidet FC 

 die Gerade HG zwischen H und G in H' also BH' die 

 die Gerade EF zwischen E und F in E', also E'G den 

 Träger der harmonischen Punkte zwischen B und D in D'. 

 Aehnlich geht der Beweis in den übrigen möglichen Fällen. 



rv. 



Sollen a ß Y ö vier harmonische Elemente sein und blei- 

 ben a und Y oder ß und S ungeändert, so können die beiden 

 andern Elemente nur im selben Sinne sich bewegen.^) 



*) C liegt zwischen A und B soll heissen A und B sind durch C 

 und den unendlich fernen Punkt der Geraden AB getrennt. 



2) Dieser Satz findet sich in VII B. der Annalen von Clebsch und 

 Neumann S. 531. 



