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Der Beweis beraht aaf ähnlichen Principien, wie der 

 vorhergehende. 



V. 



Sind a ß Y 5 vier harmonische Elemente, so liegen auch 

 Y 5 a ß harmonisch. 



Beweis. Sind AB CD vier harmonische Punkte, EFGH 

 ein Viereck von dem die Seiten EF und GH durch A, 

 FG und HE durch B gehen, hingegen die Seite EG den 

 Punkt C und FH den Punkt D trifft, und bezeichnet man 

 den Schnittpunkt von EG und FH mit K, so liegen die 

 Schnittpunkte der homologen Seiten der Dreiecke E F B und 

 DCK in einer Geraden, also gehen die Lienien ED, FC, 

 BK durch einen Punkt L Nun ist EKFL ein Viereck, 

 von dem je zwei Seiten durch C und D gehen und je eine 

 durch A und B ^). 



Aus den bisher über die harmonischen Elemente ange- 

 führten Sätzen ergeben sich sofort eine Reihe oft gebrauch- 

 ter Folgerungen, z. B. 



Weiss man von einem der Gebilde aßY^» aßÖY'ß°^T^» 

 ß a ö Y> Y ö a ß, Y 5 ß o;, S Y °^ ß» ^ 7 ß 0^» <^^ss es ein harmonisches 

 ist, so folgt dasselbe auch für alle übrigen. 



Zur Bestimmung des vierten Elementes eines harmoni- 

 schen Gebildes ist notwendig und hinreichend, dass drei 

 Elemente desselben gegeben sind und angegeben ist, von 

 welchem derselben das vierte getrennt ist. 



Wenn a ß y S und a^ ßj Yi ^i ^wei ungleichartige har- 

 monische Gebilde sind und die Elemente a^ , ß^ , Yi bezüglich 

 in den Elementen a, ß, y liegen, so liegt auch d^ in ö; u. s. w. 



§ 3. Das vollständige Griindgebilde erster Stufe und 

 die Reihe der harmonischen Elemente. 



Stetigkeit der Gebilde 2). Der Geraden schreiben 

 wir "Vollständigkeit, Lückenlosigkeit oder, wie wir gewöhn- 



1) St. G. Nr. 96. 



*) Obwohl diese Abhandlung eigentlich sich in jeder Geometrie 

 unmittelbar an die Definition der Grundgebilde erster Stufe anschliessen 



