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lich sagen, Stetigkeit zu, auch weun wir selbe nicht als 

 Element des Raumes, sondern als Grundgebilde erster Stufe, 

 d. h. als aus Punkten bestehend auffassen. Da aber der 

 Ausdruck: ,die Gerade ist eine stetige Reihe von Paukten" 

 ohne weitere Erklärung nichts Geometrisches aussagt, so ist 

 es namentlich für die folgende Ueberlegung ^) wichtig, den 

 Satz in anderer Form auszusprechen. 



Verstehen wir unter einem Stücke einer Geraden ent- 

 weder ein wirklich endliches Stück oder auch ein unend- 

 liches (welches seine beiden Enden im Endlichen hat, aber 

 den unendlich fernen Punkt in sich enthält), so können wir 

 die Stetigkeit innerhalb eines solchen Stückes definiren durch 

 das folgende 



Axiom :^) »Zerfallen alle Punkte eines Stückes 

 einerGeraden in zweiKlassen vender Art, dass 

 jede Klasse für sich wieder ein Stück derselben 

 Geraden ist, so existirt immer ein und nur ein 

 Punkt, der diese Eintheilung derPunkte in zwei 

 Klassen hervorbringt." 3) 



Anmerkung. Diesen Theilungspunkt haben beide Stücke, so- 

 lange sie vereint liegen, gemein ; die Frage, •wohin derselbe gehöre, wenn 

 man sich die beiden Stücke getrennt denkt, ist eine widersinnige, da 

 man zugleich mit der Trennung auch die Stetigkeit an dieser Stelle auf- 

 gehoben denken muss. 



Aus dieser Definition lässt sich sogleich eine Folgerung 

 ziehen : Es existirt immer ein Punkt, welcher diese Trennung 

 hervorbringt, heisst mit anderen Worten, man kann nie die 



sollte, schalte ich selbe wegen des Zusammenhanges mit dem Folgenden 

 hier ein. — Der Kürze wegen spreche ich hier nur von der Geraden, 

 da die Uebertragung des hier Gesagten auf die anderen Gruudgebilde 

 erster Stufe sich von selbst ergibt. 



*) F. Klein, Mathematische Annalen von Clcbsch und Neumann 

 VII. B. S. 531. 



2) Es kann hier nicht untersucht werden, ob das Wort » Axiom '^ 

 im strengen Sinne zu nehmen oder ob der S:;tz eigentlich ein »Postulat« 

 ist; vgl. hierüber F. Klein 1. c. § 1. 



■*} Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig, 1872. 



