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struirt dazu den vierten harmonisclien, wählt aus den nun 

 erhaltenen AÜer Punkten drei aus und construirt dazu den 

 vierten harmonischen u. s. f., so gelangt man nach und nach 

 zu einer beliebig grossen Anzahl von Punkten. Die Gesammt- 

 heit dieser Punkte möge die Reihe der harmonischen Punkte 

 heissen. Bedenkt man nun, dass der zu drei gegebenen 

 Punkten vierte harmonische mit keinem der drei Punkte 

 zusammenfällt und je nach der Anordnung, die man den 

 drei Punkten ertheilen mag, einem jeden der drei Segmente 

 angehört, in welche die Gerade durch die drei Punkte ge- 

 theilt wird ^), so sieht man, dass man die Reihe der har- 

 monischen Punkte über die ganze Gerade sich erstreckend, 

 und die Punkte der Reihe selbst einander beliebig nahe 

 denken kann. Es fragt sich hier aber darum, ob alle Punkte 

 der Geraden der Reihe der harmonischen Punkte angehören 

 oder nicht. Als Vorbereitung zur Antwort auf diese Frage 

 dient der folgende Satz: 



,In einer vollständigen-) Punktreihe gibt es keine zwei 

 verschiedenen Punkte F und G, zwischen welchen nicht 

 Punkte der Reihe der harmonischen Punkte liegen, wie 

 immer die drei ursprünglichen Punkte der Reihe angenommen 

 werden. " •^) 



Der Beweis für diesen Satz ist vollständig, wean er 

 für die folgenden vier Fälle hergestellt ist: 



a) Der Punkt F und der Punkt G gehören selbst noch 

 der harmonischen Reihe an. In diesem Falle sieht man 

 unmittelbar, dass, wenn A ein beliebiger Punkt der Reihe 

 ausserhalb des Segmentes FG ist, und man den Punkt D 

 so construirt, dass F G A D harmonisch liegen, der Punkt D 

 zwischen F und G liegen muss. 



1) Vergl. § 2. 



2) D. i. im Unendlichen ge.schlossenen. 



3) Diesen Satz haben Lyroth und Zeuthen unabhängig von ein- 

 ander gefunden; er ist mitgetheilt von F. Klein in der schon citirten 

 Abhandlung. 



