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so dass jedes folgende als Schnitt oder Schein des vorher- 

 gehenden betrachtet werden kann, so sind alle diese Gebilde 

 zu einander projectivisch. " 



Der umgekehrte Satz lässt sich also aussprechen: 



„Sind zwei Grundgebilde zu einander projectivisch, so 

 kann stets das eine als das erste und das andere als das 

 letzte einer Reihe von Gebilden dargestellt werden, in wel- 

 cher jedes folgende Gebilde ein Schnitt oder Schein des vor- 

 hergehenden ist." 



Der Beweis des ersten Satzes ergibt sich aus den 

 Sätzen über harmonische Elemente von selbst. 



Für den zweiten Satz ist, wenn man den vorhergehen- 

 den Satz mit berücksichtiget, der Beweis vollständig, wenn 

 er für zwei projectivische Punktreihen gegeben ist, die man 

 selbst noch in einer Ebene liegend annehmen kann. 



Seien also ABC auf dem Träger 21 und A^ B^ C^ . . . 



auf dem Träger 21^ zwei projectivische Punktreihen in einer 

 Ebene. Zieht man nun durch A eine beliebige Gerade 2I2' 

 ferner die Gerade AAj nimmt auf dieser einen beliebigen 

 neuen Punkt M an, verbindet M mit B^ und Cj, bezeich- 

 net die Punke, in welchem MBj und MC^ die Gerade '^2 

 schneiden, mit B2 und Cj , zieht die Geraden Bj B und Cj C 

 und bezeichnet den Schnittpunkt dieser zwei Geraden mit S, 

 so findet man, dass von dem ursprünglichen Gebilde ABC... 

 der Büschel S (ABC ) ein Schein, von diesem das Ge- 

 bilde A B2 C2 ein Schnitt , von diesem der Büschel 



M (A B2 C2 ) ein Schein und endlich von diesem A^ B^ Cj . . . . 



ein Schnitt ist. 



Durch die bisherigen Ueberlegungen wurden die Grund- 

 lagen der reinen projectivischen Geometrie so weit begrün- 

 det, dass man die Identität zwischen der gewöhnlichen und 

 unserer Definition der projectivischen Beziehung einsieht, und 

 somit die über diese Beziehung geltenden Sätze auch in un- 

 serem Systeme beweisbar erkennen muss. Es ist somit die 

 Aufgabe des ersten Theiles dieser Arbeit abgeschlossen. 



