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Die allgemeine Arithmetik gibt in ihrer Fundamental- 

 definition nicht den Inhalt des Begriffes „Zahl" an, sondern 

 bestimmt allein den umfang desselben. Zahlen heissen alle 

 jene Objecte, welche den dort näher definirten Operationen 

 sich fügen und dabei dieselben Gesetze befolgen, welche man 

 an den „natürlichen Zahlen" nachweisen kann. Die Reihe 

 der rein mentalen Objecte nun, welchen diese Eigenschaft 

 zukommt, wird in der allgemeinen Arithmetik vollständig 

 behandelt; dieselben bilden auch weiterhin den Gegenstand 

 der reinen Mathematik. 



Sind so die abstracten Zahlen erschöpft, dann entsteht 

 die weitere Frage, ob diesen bisher rein begrifflichen Objecten 

 ein reales Substrat entpreche oder mit anderen Worten, ob 

 es unter dem Realen Dinge oder Beziehungen gebe, die man 

 derart untereinander verknüpfen könne, dass auch ihnen 

 nach der oben angedeuteten Wortdefinition der Name „ Zahl " 

 zukomme. Mit der Erörterung dieser Frage bahnen wir den 

 Weg zur berechtigten Anwendung der Mathematik auf reale 

 Gebiete. 



Das nächstliegende dieser Gebiete ist die Geometrie; 

 in ihr hat schon Euklid ein System von Operationen gelehrt, 

 welches dem der gemeinen arithmetischen vier Species genau 

 entspricht '); er verknüpft dabei die Strecken ausschliesslich 

 in Bezug auf ihre absolute Grösse. Ein anderes für die 

 Geometrie äusserst wichtiges System von Operationen er- 

 hält man durch gleichzeitige Verwertung von Grösse und 

 Richtung der Strecken in der Ebene, wie Argand, Bellavitis 

 und Moebius gelehrt haben '^). Noch weitere Systeme ent- 

 sprechen der Rechnung mit höheren complexen Zahlen. 



Auffallend bei allen diesen Systemen muss es erschei- 

 nen, dass alle schon von vorne herein auf den Begriff der 



1) H. Haukel, Theorie der complexen Zahlensysteme, Leipzig 

 1867; § 18. 



2) Ebendaselbst § 20. 



Naturw.-iued. Ver. 1878. 11 



