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§ 2. Die eigentlichen Würfe sind Zahlen. 



Diese Behauptung ist erwiesen, wenn wir ein System 

 von georaetriscben Operationen definiren, die gestatten aus 

 mehreren "Würfen auf gesetzmässige Art neue abzuleiten, so 

 dass die Gesetze dieser Operationen mit den für das Zahlen- 

 rechnen gültigen gesetzen übereinstimmen. Wir beginnen 

 sogleich mit der Definition der 



Gleichheit zweier "Würfe, 

 Zwei "Würfe sollen gleich heissen, wenn sie projectivisch 

 sind ^), 



Nach dieser Definition ist es möglich, einen beliebigen 

 "Wurf durch einen andern zu ersetzen, der mit einem schon 

 gegebenen "Wurfe drei Elemente gemein hat, da man, wenn 

 man zwei einförmige Grundgebilde projectivisch auf einander 

 beziehen will, zu drei Elementen des einen die drei ent- 

 sprechenden dee andern beliebig annehmen kann. 



Addition und Subtraction, 



Sind Wj =^ a ß Y ^1 ^"^1 W2 = a ß y §2 ^^^^ Würfe in 

 einem Elemsntargebilde und man bestimmt ein Element o 

 desselben Gebildesso, dass aa^.öj S2'ß'^ ^i'^^ Involution ist, 

 denn heisst der Wurf aßY<3 = w die Summe der beiden 

 Würfe Wj und W2 (w=Wj +W2) ^), 



Anmerkung. Bei dieser Construction der Summe kann es vor- 

 kommen, dass -w ein uneigentlicher Wurf wird, für die folgenden Be- 

 weise ist dieser Fall ausgeschlossen, da die uneigentlichen Würfe im 

 nächsten § eigens behandelt werden. 



Gleiches zu Gleichem addirt gibt Gleiches. 

 Die Richtigkeit dieses Satzes für die oben definirte Addition 

 kann wie folgt bewiesen werden; 



Sei wie früher Wj =a ß Y Sj , W2=^a ß y §2, w=Wj +^2= 

 aßY<3; nimmt man nun in einem andern oder in demselben 



1) St. B. Nr. 256. 



2) St. B. Nr. 258; J. Lüroth: das Imaginäre in der Geometrie 

 und das Rechnen mit Würfen (mathematische Annalen von Clebsch und 

 Neumann VIII. Bd.) Nr. 57. 



