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Elementargebilde die drei Elemente a'ß'Y' ganz beliebig an 

 und constniirt w^ = a' ß' y' 3'^ , W2=a'ß'Y'§'2» ^^^^ ^^t die 

 Summe dieser beiden Würfe w'=^a' ß' y' ^\ wenn a a'. 8\ ö'g- ß' ^' 

 eine Involution bilden. 



Bezielit man nun beide Gebilde projectivisch so auf 

 einander, dass den Elementen aßY des ersten beziehungs- 

 weise die Elemente a'ß'Y' des zweiten entsprecben, so folgt 

 aus aßY^i^a'ß'Y'S'i und aßY§2 = a'ß'Y'S'2 

 a ß Y §1 §2 project, a' ß' y' S'i S'2 

 und weil der Involution aa. Sj§2- ß*^ wieder eine Involution 

 entsprechen muss, entspricht auch dem Elemente das Ele- 

 ment 0', also ist 



a ß Y Si §2 <3 project, a' ß' y' ^'i ^'2 a', 

 woraus folgt a ßY(3 = a'ß'Y'(3' oder w'=w '). 



Die Commutativität der zweigliedrigen Summe 

 (wi-j-W2=^W2+wJ folgt unmittelbar aus dem Umstände, 

 dass bei der Construction von a die beiden Elemente Sj und 

 §2 symmetrisch benützt werden ^). 



Die Associativität der dreigliedrigen Summe 

 [K+W2)+W3=(w^+W3)-f-W2=Wi+W2+W33 ergibt sich 

 aus folgender Ueberlegung: 



Sei wieder Wj^aßY^i, '^2^=°^ßT^2' W3=aßYÖ3>und 

 sei ausserdem gefunden worden : w^ -(-W2=a ß Y 03 , Wj +W3 = 

 aßY 02, so müssen aa. SiS2' ß^a und aa. 8^d^. ßa2 Invo- 

 lutionen sein, woraus folgt ^) 



a §2 ^^2 ^3 ^3 ß ^ project, a 02 §2 <53 ^3 <3 ß 

 d. h. aa. S2<^2- ß<^ ^^^ ^'^' ^3*^3 • ß^ sind Involutionen. Dar- 

 aus ergibt sich 



°^ßTS2+aßY<32'=^°^ßY^ O'^er (wi+W3)H-W2=aß ycs 

 aßYÖ3+°^ßY03=aßYa oder Wg -f (wi +W2)=^a ß y <3 

 also ist 



W2+K+W3)=W3+(Wi+W2)=Wi+W2+W3 ^) 



*) Lüroth 1. c. 



2) Lüroth Nr. 54. 



ä) Lüroth Nr. 59, vergl. St. B. Nr. 259. 



