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Dieses vorausgesetzt lässt sich die Associativität wie 

 folgt beweisen: 



Sei Wj = aßYSij "W2=aßY^2' ''^^a^o^ßT^s» ferner 

 Wj . W2= a ß Y 7C3 und (w^ . W2) . Wg = a ß y tt, so ist wegen 



a ß Y Si . a ß Y §2 ^^"^ ß T ^3 ^^^ Gebilde aß . Sj §2 • Y^s ^iu in- 

 volutorisches, also W2=aßYS2=^ßa7r3 5|=^aßSj 313 ; ferner 

 ist wegen a ß y ^3 • a ß Y ^3 ^^ 0^ ß T ^ otß . ■JUg S3 . y^ eine In- 

 volution, also W3=aßYS3=ßa7:7r3=aß7r3 TT, also nach 

 dem Hülfssatze W2W3=aßöj7r3 , aßTig Tr^^^aßSj tt, also 

 Wi .(w2.W3)=aßYSi .aßSiir=aßY7c=(wi . Wg) . W3 i). 



Das distributive Princip [w^ (w2+W3)=w^W2-f- 

 w^W3] kann ebenfalls mit Benützung des vorigen Hülfssatzes 

 nachgewiesen werden. 



Sei Wj=aßY5i, W2^=aßSi Sj» '^'^s^^o'ßöi ^3» W2~l~'^3'= 

 aß 5^0, so ist aa.§2Ö3 •ß'^ eine luvolution und w^ ("^2~i""^3) 

 =-aßYSi • aßS^ a=aßY(3; anderseits ist w^ . Wj^aßYÖß 

 und Wj . W3 =a ß Y §2 > ^^^<^ ^^'^ "^1 ^2 "i"^! ^ 3 ^^°^ ß V' gß" 

 setzt, so muss aa ..§2^3 • ßo' eine Involution, also a^=a' sein, 

 also ist Wj (w2+W3)=Wj^ ^2~t~'^i W3=aßY<3^). 



Der Quotient (wj) zweier Würfe ( — j ist definirt 



durch die Forderung, dass w^^w^ . W2 sein soll. 



Diese Forderung wird immer und zwar eindeutig er- 

 füllt, wenn man (w^^aßYÖ und Wj^=aßY§i vorausgesetzt) 

 das Element Sj construirt, welches in der Involution a ß . y 3 . . . . 

 dem Elemente d^ zugeordnet ist ^). 



§. 3. Fortsetzung. 



Der im vorhergehenden § durchgeführte Beweis für die 

 Behauptung, dass die eigentlichen Würfe Zahlen seien, hat 

 noch eine Lücke. Wir haben nämlich bisher vorausgesetzt, 

 dass das Resultat der Operationen, die wir definirt haben, 

 ebenfalls ein eigentlicher Wurf sei; es ist desshalb noch zu 



1) Lüroth Nr. 62. 



2) Ebendas. Nr. 63. 



3) Ebendas. Nr. 63 und St. B. Nr. 271, 



