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untersuchen, wann dieses nicht der Fall ist und ob die früher 

 nachgewiesenen Gesetze auch dann noch gelten. 



Was nun die erste Frage betrifft, sieht man beim Durch- 

 gehen der früheren Operationen Folgendes: 



Ein uneigentlicher Wurf erster Art ist das Resultat der 

 Addition zweier Würfe a ß y 6 und a ß y §i , wenn in dem in- 

 volutorischen Gebilde aa . ßß dem Elemente § das Ele- 

 ment Sj zugeordnet ist; die Subtraction ergibt einen un- 

 eigentlichen Wurf erster Art nur wenn Minuend und Sub- 

 trahend einander gleich sind; durch Multiplication oder Di- 

 vision kann aus zwei eigentlichen Würfen nie ein uneigent- 

 licher Wurf hervorgehen. 



Ein uneigentlicher Wurf zweiter Art kann herauskom- 

 men bei der Addition ; es ist nämlich aßYS-)-aYßS=aßYT5 

 bei der Subtraction, wenn aa . y^i • ßS eine Involution ist (a ß y 5 — 

 a ß Y §1 =a ß Y y) ; bei der Multiplication ist a ß y § ■ a ß S '(= 

 aßYY» t)ei der Division ist aßY^raß Y^^aßYT- 



Ein uneigentlicher Wurf dritter Art kann durch das 

 „Rechnen" mit eigentlichen Würfen nie herauskommen. 



Wollen wir nun die Frage beantworten, ob und in wie 

 ferne in den angeführten Fällen die Rechnungsregeln gelten, 

 so müssen wir unterscheiden, ob wir es mit Sätzen zu thun 

 haben, welche nur zwei bekannte Würfe voraussetzen, oder 

 mit solchen, die mehrere gegebene Würfe erfordern, für die 

 ersteren gelten die früheren Beweise, bei den letzteren ist 

 wieder eine Unterscheidung notwendig. So sieht man beim 

 Durchgehen der vier Operationen Folgendes unmittelbar: 



Addition. aßY5+aßY3i-=a'ß'Y'§'+a'ß' y'S'i, wenn 

 aßY8=a'ß'Y'^' und aßYÖi=a'ß'Y'ö'i ist, mögen nun die 

 beiden Würfe addirt einen uueigentlichen Wurf geben, oder 

 mag ihr Unterschied oder ihr Product oder Quotient ein 

 solcher sein. Dasselbe gilt von der Commutativität der 

 zweigliedrigen Summe. Der frühere Beweis für die Associa- 

 tivität der zweigliedrigen Summe gilt hingegen nur für den 

 Fall, dass weder w^-|-W2 noch w^-j-Wg noch W2-f-W3 für 

 sich einem uneigentlichen Wurfe gleich wird; tritt nun dieser 



