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Fall ein, so ist bisher die Addition noch nicht definirt und 

 wir können den Fall erst dann näher ansehen, wenn, wir 

 die Rechnungsoperationen mit den uneigentlichen Würfen 

 definirt haben. 



Subtraction. Haben wir früher nachgewiesen, dass 

 im Allgemeinen die Definition der Subtraction eindeutig ist 

 und beachten wir dazu, dass nur in einem Falle ein un- 

 eigentlicher Wurf erster Art und ebenfalls nur in einem 

 Falle ein uneigentlicher Wurf zweiter Art herauskommen 

 kann und muss, so ist damit die Eindeutigkeit der Subtrac- 

 tion dargethau. 



Multiplication. Hier sind nach dem Gesagten nur 

 zwei Sätze eigens zu behandeln, nämlich die Associativität 

 des eingliedrigen Productes und das distributive Princip. Be- 

 züglich des ersteren Satzes gilt eine analoge üeberlegung, 

 wie oben bei dem entsprechenden Satze der Addition. — 

 Für das distributive Princip [w^ (w2-l-W3)^^WjW2-f-W|W3] 

 gilt der frühere Beweis, so lange keiner der Ausdrücke 

 ^2~^^3' ^'i "^2 ~f~^i "^'3 ^^^ ^^^^^ ^^^ uneigentlicher Wurf ist; 

 ist aber dieses der Fall, so werdeij wir wieder auf die De- 

 finition der Rechnungsoperationen mit uneigentlichen Würfen 

 hingewiesen. 



Division. Die Eindeutigkeit der Division für alle 

 Fälle, in welchen Dividend und Divisor eigentliche Würfe 

 sind, folgt ebenso, wie die Eindeutigkeit ddr Subtraction. 



Aus ' den bisherigen Ueberlegungen ergibt sich, dass die 

 Behauptung : , Eigentliche Würfe sind Zahlen "^ im Allgemeinen 

 zwar zutrifl't, dass jedoch um alle Ausnahmen zu beseitigen, 

 auch die Definition der Rechnungsoperationen mit uneigent- 

 lichen Würfen erster und zweiter Art notwendig ist. Ob dieses 

 aber auch hinreichend ist, muss erst noch untersucht werden. 



§. 4. Das Rechnen mit uneigentlichen Würfen. 



Uneigentliche Würfe sollen als gl 'ich betrachtet werden, 

 wenn sie von derselben Art sind ^). 



') St. B. Nr. 256. 



