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üneigentliche Würfe erster Art^). 



Addition. Seiw=aßYS> w'='aßYß (also ein uneigent- 

 liclier Wurf erster Art), so bemerkt man bei der Ausführung 

 der Addition nach der früheren Definition, dass selbe sich 

 selbst widerspricht, wenn nicht a^=d wird. Wir definiren 

 also w-|-w'=-w. Ebenso definirt man, dass die Summe von 

 zwei uneigentlichen Würfen erster Art wieder ein solcher ist. 



Jetzt findet man, dass alle notwendigen Gesetze auch 

 hier wieder gelten; einige derselben lassen sich nämlich auf 

 die für die eigentlichen Würfe angegebene Art beweisen, 

 wenn man nur den obigen Begriff der Gleichheit beachtet; 

 andere müssen durch eine neue Methode bewiesen werden; 

 nur die letzteren sollen hier ausdrücklich Erwähnung finden. 



Die Associativität der dreigliedrigen Summe ergibt sich 

 wie folgt: 



a) Wenn alle drei Würfe uneigentliche erster Art sind, 

 so ist w'j=w'2^=w'3 ; ferner wlj 4- w'2=w'i, w'j+w'g^w'j, 



also {w\ +^'2)'l""^'3''^'^'2"i"^'3'^'^'l ^^^ ^\ '^('^'i'^'^'s)^^ 

 w'j -f-w'g =w'i , also 



b) Wenn ein Wurf ein eigentlicher ist. w-}-(w'i +^'2)= 

 w-f-w'^=^w; ebenso ist (w-[-w'i)-|-w'2='w-l-w'2=w. Nimmt 

 man nun noch die Commutativität der zweigliedrigen Summe 

 zu Hülfe, so ist dieser Fall erlediget. 



c) Wenn zwei Würfe eigentliche sind. w-}-(w^+w')= 

 w-|-w^ und (w-f-Wj)+w'=w-]-Wi, also ist mit Rüchsicht 

 auf die Commutativität der zweigliedrigen Summe der Beweis 

 vollständig. 



Subtraction. Construirt mau die Diff"erenz wie 

 früher, so findet man, wenn w=^a ß Y § > w'-=^a ß y ß ist, 

 1) w— w'=w, 2)w'— w'i=w', 3) w'— w=aßYß— aßYS= 



a ß Y S'j wo 8' in der Involution aa. ßß dem Elemente 8 



zugeordnet ist. Es ist also die Subtraction auch wenn die 



i) Im Folgenden soll, auch wenn es nicht ausdrücklich bemerkt 

 ist, w'!- einen uneigentlichen Wurf erster Art, w"r einen uneigentlichen 

 Wurf zweiter Art bezeichnen. 



