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Eigenthümlichkeit ; es gelten für die Verbindungen dieser 

 Würfe untereinander, sowie für die Verbindung derselben mit 

 oigentlicben Würfen und mit uneigentlicüen Würfen erster 

 Art die in den vorhergehenden §§, beziehungsweise in die- 

 sem § angeführten Sätze und Beweise. 



Multiplication. Ist w==aßY^ "^^ w"=^aßYY, ^^ 

 findet man bei der Ausführung der Multiplication, wie sie 

 für eigentliche Würfe definirt wurde, w w"=w und w" w=w, 

 woraus dann die übrigen Gesetze der Multiplication wieder 

 rein arithmetisch hergeleitet werden können. 



Division. Der Quotient — =^aSYl, wo YYOcß-S^ 



W I I 1 - 



eine Involution ist, also ist aßY^=ßaYS=aß3Y. Ebenso ist 



w 



— r,=w eindeutig bestimmt. 



w' ^ 



üneigentliche Würfe dritter Art. 



Diese Würfe unterwerfen sich den Gesetzen der Rech- 

 nung nicht; denn, wie man sieht, kann man auf sie die 

 früheren Definitionen nicht mehr anwenden ohne auf Wider- 

 sprüche zu stossen; ebenso begegnet man Schwierigkeiten, 

 wenn man neue Definitionen einführen will, da die Ein- 

 deutigkeit der Operationen nicht mehr hergestellt werden 

 kann. Doch können wir leicht diese Art von Würfen ent- 

 behren; denn, wie wir gesehen haben, kann beim Rechnen 

 mit eigentlichen Würfen nie ein Wurf dritter Art heraus- 

 kommen ; es sind also die im vorigen § noch übrig geblie- 

 benen Lücken bereits durch das über die uneigentlichen 

 Würfe erster und zweiter Art Gesagte ausgefüllt. Ebenso 

 kann ein uneigentlioher Wurf dritter Art durch die definir- 

 ten Operationen mit uneigentlichen Würfen erster und zweiter 

 Art (in Verbindung mit eigentlichen Würfen) sich nicht er- 

 geben, da wir die Division mit uneigentlichen Würfen erster 

 Art ausgeschlossen haben. 



Fassen wir nun die Resultate der letzten drei §§ zu- 

 sammen, so können wir sagen, dass die Gesammtheit der 



