— 174 — 



aßSY=ßaYS=^TSßa=SYaß= — 

 aYßS=ßSaY=YaSß=ößYa=l— m 

 aYSß=ßSTa=Yaßö=SßaY 



1— m 

 -I 



aSßY=ßYa3=YßSa=aaYß=- 



a§Yß=ßYSa=YßaS=öaßY= 



m 

 m 



m— 1 



Ferner können wir zu einer Zahl m die entgegenge- 

 setzte — m construiren ; denn ist a ß y S=m, so ist a ß y §'=• 

 — m, wenn aa . ßß .ßd' ein Involution bilden. 



Weiter ergibt sieb, dass ein harmoniscber Wurf gleich 

 — 1 zu setzen ist, denn, da aßYY^+l» ist aßYS= — 1, 

 wenn das Gebilde aa . ßß . "(8 ein involutorisches ist ; dann 

 ist aber aßYS^^aß^Y? ^^^o sind die Würfe harmoniscn ^). 

 Will man nun überhaupt eine ganze positive Zahl con- 

 struiren, so wird man einfach selbe in eine Summe von 

 kleineren Zahlen oder in eine Summe von Producten und 

 dergl. zerlegen und diese letzteren durch successive Addition 

 der Einheit darstellen. — Speciell kann man die Zahl 2 

 auch in der Weise construiren, dass man einen harmonischen 

 Wurf aßYS= — 1 construirt; dann ist nämlich aYßS^=l — 



( — 1)=2; ebenso ist dann auch aSßY= j — =2 



Eine ganze negative Zahl kann aus — 1 abgeleitet wer- 

 den, wie eine ganze positive Zahl aus -\-l, oder man kann 

 zuerst den absoluten Wert der Zahl construiren und diesen 

 dann von Null (aßYß) subtrahiren. 



Eine gebrochene positive oder negative Zahl wird er- 

 balten, indem man Zähler und Nenner für sich und dann 

 ihren Quotienten construirt. — Zu bemerken ist aYSß=^ 

 aSYß='/2' wenn aßYÖ=--l. 



1) St. G. Nr. 118. 



