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Es entspricht also jeder gegebenen rationalen Zahl ein 

 Wurf, aber auch nur ein Wurf; denn da für die Würfe die 

 Rechnuugsregeln gelten, muss dass Resultat immer dasselbe 

 sein, auf welchem Wege immer die Construction der Zahl 

 unternommen wird. 



Bevor wir nun in unserer Untersuchung weiterfahren, 

 müssen wir noch eine Frage beantworten, die von nun an 

 nicht mehr umgangen werden kann. Denken wir uns näm- 

 lich etwa auf einer Geraden drei feste Punkte ABC und 

 fragen nach der Lage des Punktes D, wenn der Wurf AB CD 

 nacheinander verschiedene rationale Werte annimmt, so fin- 

 den wir nacheinander folgende Sätze : 



I. Alle positiven ganzen Zahlen liegen in der Richtung 

 ABC zwischen C inclusive und A exclusive, und zwar kommt 

 für die grössere Zahl D näher gegen A zu liegen. 



Beweis. Sei ABCD^.=y eine positive ganze Zahl und 

 liege Dj. im obigen Sinne zwischen C und A; sei ferner 

 ABCD^.^j^=r-[-l, so muss AA.CD^, . BD^.^^ eine Involu- 

 tion sein; der zweite Doppelpunkt dieser Involution muss 

 zwischen C und Dj. liegen, also da A M C D^ und A M B D^_^i 

 harmonische Würfe sind, muss Dj. i ^ im obigen Sinne zwi- 

 schen Dj. und A liegen. — Da nun für ABCD2-^2 un- 

 sere Behauptung ganz ähnlich, wie hier für den allgemeinen 

 Fall erwiesen werden kann, ist der Satz bewiesen. 



II. Alle positiven echten (rationalen) Brüche liegen 

 zwischen B und C (in der Richtung ABC). 



Beweis. Sei ABCD^. =r eine positive ganze Zahl, 



ebenso A B C D^ =is und s>»r ; ferner ABC Q-r= — , so ist 



^ s 



AB.QDj; .CD^. eine Involution, in welcher, da Dg zwischen 

 Dr und A liegt, Q, zwischen B und C liegen muss. 



III. Jede positive rationale Zahl liegt im Sinne ABC 

 näher an A als jede kleinere positive rationale Zahl. ♦ 



Beweis, Sei ABCD=m eine positive rationale Zahl 

 und ebenso ABCD'=m', sei ferner ABCS--m-|-m', so 

 muss AA . DD' . BS eine Involution sein, deren zweiter Doppel- 



