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punkt zwisclien D und D' liegt; es muss daher, da B vor 

 D und D' liegt, S hinter beiden liegen. 



Es braucht wol kaum ausdrücklich bemerkt zu werden, 

 dass aus den Beweisen, die hier zum ersten und dritten 

 Satze gegeben wurden, auch hervorgeht, dass der Punkt A 

 bei der angegebenen Construction von positiven rationalen 

 Zahlen nicht überschritten werden kannu. Daraus folgt 

 dann auch, dass eine jede Reihe von Punkten, die einer 

 beständig wachsenden Reihe von rationalen Zahlen entspricht, 

 einen Grenzpunkt haben muss, der zunächst (im Sinne ABO) 

 entweder vor A liegen oder A selbst sein muss. 



Wir werden aber unten (pag. 179) zeigen, dass für den 

 Fall, dass die erwähnte Reihe der rationalen Zahlen den 

 Grenzwert ^ao hat, kein anderer Punkt als A selbst der 

 Grenzpunkt der betreffenden Reihe von Punkten sein kann. 



Aehnlich finden wir auch die Lage der negativen Zah- 

 len in der entgegengesetzten Richtung von B aus. 



Jetzt können wir weiter untersuchen, ob auch jeder 

 irrationalen Zahl ein Wurf entspricht. Denken wir uns eine 

 irrationale Zahl ^ definirt als den Grenzwert einer Reihe 



von rationalen Zahlen mj, mj, nig m^ , welche 



z. B. beständig zunehmen, so gibt es rationale Zahlen g, 

 welche die Eigenschaft haben, dass g^m^. was immer auch 

 r bedeuten mag. Denken wir uus die Würfe AB CMi=mi, 

 ABCM2=m2 u. s. w. und ABCG=g conätruirt, so bilden 

 die Punkte Mj , Mj, M3 . . . . eine Reihe, welche sich be- 

 ständig gegen G hin fortsetzt, ohne aber dieses zu erreichen, 

 wie unmittelbar aus den früher angeführten Sätzen folgt; 

 es ist also durch eine Definition einer irrationalen Zahl ein 

 Punkt M auf der Zahlenlienie definirt, welcher der Grenz- 

 punkt der Reihe Mj M2 M3 ist. Es • kann nun aber 



dieselbe irrationale Zahl auch als Grenzwert einer anderen 



Zahlenreihe n^ n2 n, .... n, definirt sein; dadurch wäre 



uns auf der Zahlenlienie ein Punkt N ähnlich wie früher 

 M definirt; dieser Punkt N ist aber mit M iden- 

 tisch. Zum Beweise dieser Behauptung müsaen die zwei 



