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Fälle unterschieden werden, ob (wenn wir wieder ABCNi = 



n^ u. s. w. setzen) die Puuktreihen M^ M2 M3 und 



Nj N2 N3 im selben oder im entgegengesetzten Sinne 



sich fortsetzen. Im ersten Falle muss jeder bestimmte Punkt 

 M, der ersten Reihe von der zweiten Reihe und ebenso 

 jeder Punkt N, von der ersten Reihe überschritten werden; 

 also kann N weder vor M noch nach M liegen, da in jedem 

 Falle zwischen N und M (oder M und N) sich Punkte der 

 einen Reihe befinden müssten, welche von der andern nicht 

 erreicht würden. Im zweiten Falle müssten, wenn M und N 

 nicht identisch wäre, zwischen beiden Punkten Punkte so- 

 wol der Reihe M als auch der Reihe N liegen, und zwar 

 müssten beide Reihen ineinander greifen; es müsste daher 

 nach den Sätzen über die I/age der rationalen Zahlen in der 

 Ebene auch Zahlen der ersten Reihe geben, welche grosser 

 wären als einige Zahlen der zweiten Reihe (welche in diesem 

 Falle beständig abnehmen würde); es könnte also nicht 

 limn,=lim m, sein, was doch angenommen wurde. Es ist 

 also durch jede Definition einer irrationalen Zahl ({jl) stets 

 ein und derselbe Punkt M auf der Geraden definirt, auf 

 welcher mau die rationalen Zahlen aufgetragen hat. Wir 

 werden daher den Wurf ABCM==-[jl zu setzen haben. 



Aus der eben angestellten Ueberlegung folgt von selbst, 

 dass eine irrationale Zahl nach jeder kleineren und vor jeder 

 grösseren rationalen Zahl zu liegen kommt, woraus dann 

 weiter folgt, dass A auch der Grenzpunkt einer Reihe von 

 Punkten ist, welche einer beständig und ins Unendliche 

 wachsenden Reihe von irrationalen Zahlen entspricht. 



Wir können also als Zusammenfassung unserer bisheri- 

 gen Resultate sagen: 



„Jeder reellen Zahl x entspricht ein Wurf 

 ABCX, so zwar, dass, während x von — 00 bis 

 4-00 sich ändert, X stets im Sinne ABC sich 

 bewegen muss und zwar von A nach B, wenn x 

 von — 00 bis geht, von B nach A, wenn x von 

 bis +00 geht." 



ISaturw.-med. Ver. 1878. 12 



