— 178 — 



• Von gleicher Wichtigkeit und zum Abschlüsse unseres 

 Systemes unbedingt notwendig ist der umgekehrte Satz, den 

 wir also aussprechen können: 



„Jedem gegebenen, d. i. geometrisch definirten 

 "Wurfe entspricht eine reelle Zahl." 



Beweis. Derselbe setzt folgenden Satz voraus: Wenn 

 AB CM ein geometrisch gegebener Wurf ist und ABC zu- 

 gleich die Fundamentalpunkte sind, von welchen ausgehend 

 man sich die Reihe der harmonischen Punkte construirt 

 denkt, und wenn endlich M ein Punkt dieser Reihe ist, so 

 ist der Wurf ABCM eine rationale Zahl. — Man sieht 

 nämlich sofort, dass, wenn man die Punkte ABC in irgend 

 einer Reihenfolge nimmt und dazu den vierten harmonischen 

 H construirt, der Wurf ABCH eine rationale Zahl ( — 1, 

 y2 oder +2) sein muss. Hierauf lässt sich allgemein Fol- 

 gendes zeigen : Sei A B C Mj =mi , A B C M2=m2, A B C Mg = 

 mg, wo m^, m2, mg rationale Zahlen sind und sei ferner 

 Mj M2 Mg N= — 1, so ist der Wurf ABCN eine ratio- 

 nale Zahl, wenn keiner der Punkte M^, M2, Mg mit einem 

 der Fundamentalpunkte identisch ist; denn man construire 

 Kj so, dass ABCK^=m2 — m3=r, K2 so, dass ABC K2== 

 IUI — m3=r2, Pj so, dass ABCP^^m^ r^ P2 so, dass 

 ABCPi=5mj^ rj, P2 so, dass ABCP2=m2 rg, S so, dass 

 ABC S=mi r^ -(-m2r2=s, T so, dass ABC T=:Y^ -f-r2=t, X so, 



dass ABCX=-=x, so ist ABCX sicher eine rationale 



Zahl. Nun lässt sich aber zeigen, dass X mit N identisch 



ist; es ist nämlich 



m^ mj ABCMi ABCM, 



^-~m, ^~T ^""ABCMj ^^ ABCX; 



M, M, M3 N^ -^=— ^, ' —^, = ÄbT;!^ ' ABCM, 



^~m3 ^~x ^""ABCMa ^ ABCX 



jeder der hier angedeuteten Quotienten ist ein Wurf, der 

 sicher eine Zahl ist; darum muss auch jeder dazu projec- 

 tivische Wurf dieselbe Zahl sein; es folgt also weiter: 

 , ,,,,,. AM,M,B AXM„B AMjM^fi T>f ,c ,4^ v 



