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— Ganz derselbe Gedanke gibt nur in entsprechend ein- 

 facherer Form den Beweis, dass obiger Satz auch gilt, 

 wenn einer oder zwei der Punkte Mj,M2,M3 mit Fuuda- 

 mentalpunkten zusammentreffen; nur müssen hiebe! alle 

 möglichen Fälle besonders bewiesen werden. Es ist also 

 gezeigt, dass es nicht möglich ist, einen neuen Punkt H' 

 der harmonischen Reihe zu construiren, ohne dass der Wurf 

 ABCH' eine rationale Zahl würde 



Ist also A B C M ein geometrisch gegebener Wurf, so ist M 

 entweder ein Punkt der harmonischen Reihe oder das Grenz- 

 element eines bestimmtenTheiles derselben, welcher sich stets im 

 selben Sinne fortsetzt. Im ersten Falle ist, wie wir gesehen 

 haben, AB CM eine rationale Zahl; im zweiten Falle ent- 

 spricht jener Theil der Reihe, dessen Grenzpunkt M ist, einer 

 Reihe von rationalen Zahlen, welche entweder beständig zu- 

 nehmen oder beständig abnehmen. Nun können wieder zwei 

 Fälle eintreten; der erste Fall ist der, wo diese Reihe von 

 Zahlen eine bestimmte Zahl nie überschreitet; dann muss 

 selbe einen endlichen Grenzwert g haben ; dieser Zahl g muss 

 aber ein Wurf entsprechen; dieser Wurf kann kein anderer 

 sein als AB CM; denn wäre es ein anderer, z. B. ABCN, 

 so müsste N im Sinne, in welchem der fragliche Theil der 

 harmonischen Reihe sich fortsetzt, entweder vor M oder nach 

 M liegen. Läge er vor M, so müssten zwischen M und N 

 noch Punkte der Reihe liegen, somit auch die Zahl g von 

 jener Zahlenreihe überschritten werden, deren Grenzwerth sie 

 sein soll. Läge N nach M, so müssten zwischen M und N 

 wieder Punkte der harmonischen Reihe liegen; ein solcher 

 sei K, dann ist der Wurf ABCK=k eine rationale Zahl, 

 die von der Reihe der rationalen Zahlen, deren Grenzwert g 

 sein soll, nicht überschritten wird; es könnte also g wieder 

 nicht der fragUche Granzwert sein. Es ist also in diesem 

 Falle ABO M=g, also sicher eine reelle Zahl, wenn auch 

 nicht entschieden ist, ob selbe rational oder irrational sei. 

 Der zweite mögliche Fall wäre der, dass die oben genannte 

 Reihe der Zahlen jede endliche Zahl überschritte. Das kann 



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