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aber nicht eintreffen, wenn nicht M .mit A identisch ist ; 



denn wäre z. B. der Grenzpunkt M einer Reihe Mj , M2 M3 



welche sich im Sinne ABC gegen A hin fortsetzt, und läge 

 M vor A, so könnte (ABCMjrrjmj u. s. w. gesetzt) die 



Reihe der Zahlen m^ , nij, m^ nicht ins unendliche 



wachsen. Es müssten nämlich zwischen M und A sich 

 Punkte z. B. K befinden von der Art, dass ÄBOK=k eine 

 positive Zahl wäre; diese Zahl k könnte aber von den Zah- 

 len mj , m2, mg nicht überschritten werden. Ist aber 



M=A, so wissen wir ohnehin aus den früheren Untersu- 

 chungen, dass ABCA=GO zu setzen ist. 

 Sclilussbemerkiing 

 Aus den bisherigen Untersuchungen erkennen wir so- 

 fort, dass zwischen den Würfen und den Doppelverhältnissen 

 der neueren Geometrie eine Analogie obwaltet; wir können 

 nun geradezu behaupten, dass bei unserer Schreibweise ein 

 Wurf AB CD und ein Doppelverhältniss AB CD denselben 

 Wert haben. Dies geht daraus hervor, dass die uneigent- 

 lichen Würfe mit den gleichgeschriebenen uneigentlichen 

 Doppelverhältnissen denselben Wert haben und dass ferner, 

 wenn bei den Würfen ABCD^ 4-ABCD2--ABCS auch 

 die gleichlautende Gleichung von Doppelverhältnisseu gilt, 

 was man auf ganz gewöhnliche Weise ausrechnen und auch 

 für die übrigen Rechnungsoperationen wiederholen kann. 

 Daraus folgt nämlich sofort, dass unsere Behauptung gilt, 

 so lange A B C D eine rationale Zahl ist ; dann lässt sich 

 weiter folgern, dass dasselbe auch der Fall ist, wenn A BCD 

 eine irrationale Zahl ist, indem man die schon wiederholt 

 zur Anwendung gelangte Methode benützt und zeigt, dass 

 dann das Doppelverhältniss A BCD weder einen grösseren 

 noch einen kleineren Wert haben kann. 



