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G=^0 zu b es till! Ill e u sei. Die Antwort war leicht zu 

 finden, aber schwierig zu begründen." Bildet man das in 

 XqJq rationale Produkt 



n (yr - y's) 

 wo yr diejenigen Wurzeln der Gleichung F=0 bezeichnen, 

 welche für litn. x^— x^ in y^ , y's eben dieselben der Glei- 

 chung G-=0; so ist r der Exponent von x-x,, im ersten 

 dieser nach steigenden ganzen positiven Potenzen von x-Xq 

 fortschreitenden Reihe." Der allgemeine Beweis dieses 

 Satzes, der mir nun vorliegt, beruht auf der Benützung einer 

 Reihe ganzer Zahlen, welche von den Hrn. Ralphen und 

 J. S. H. Smith zuerst aufgestellt und vom ersteren ,die 

 für eine Wurzelgruppe charaoteristischeu Zahlen" genannt 

 wurden. 



Durch den eben erwähnten Satz ergibt sich nun die 

 vollkommene Einsicht in die Zusammensetzung der Resultante 

 der Gleichungen F=0 G=0 gebildet nach einer der Ver- 

 änderlichen z. B. y. Der Grad derselben p ist gleich b-^-tl^ 

 wo £ die Gesammtmultiplicität der endlichen Schnittpunkte 

 bezeichnet und % ein Theil ist der Multiplicität rg des 

 Punktes Xj ==-0X3=^0. (Dabei ist gesetzt x— Xj :X3, y=X2:x3). 

 In der That, sind F, G in y bez. vom Grade m-[i', n-v', 

 ferner die Confticienten von ym-i'-' yn-v' in x bez. vom Grade 

 {j.'-h', v'-i', so hat man 



r2 - (iV-h'i'+R+x. 



Dabei werden R, y. auf folgende Weise bestimmt. Setzt man 

 x^ X3 t 



^=::t — = Z X=— 



X2 X2 Z 



und entwickelt aus den Gleichungen 



/ t 1 N / t In 



tinder Umgebung der Stelle z=0 t=Onach steigenden Poten- 

 zen von z, so ist % derjenige Theil der Multiplicität von z=o 

 t^=o der sich aus dein Produckte 11 (tr-t's) aller Wurzel- 

 Gruppen ergiebt, deren Entwickelung mit einer Potenz von 

 z beginnt, deren Exponent nicht kleiner ist als die Einheit, 

 jedoch vermindert um ([i'-h') (v'-i'). R hingegen ist der- 



