Sur la convergence des fractions continues. 399 



La question de la convergence ou non-convergence d'une 

 fraction continue de l'espèce dont il s'agit serait, d'après ces re- 

 marques, facile à résoudre, si la série infinie cà ternies alternati- 

 vement positifs et négatifs, qui lui "répond, suivait une loi simple 

 et évidente; mais ceci n'a pas lieu en général, même dans le cas 

 où la fraction continue elle-même suivrait une loi très- simple. 

 l! m'a donc paru de quelque intérêt de trouver une règle simple 

 et sûre, pour décider la question dans un cas quelconque; ce 

 qui m'a réussi par la découverte dû théorème suivant d'une 

 généralité et simplicité remarquables: 



Une fraction continue quelconque de la forme 

 1 



1 



ö 3 + 



+ "> + l 



où a t , rt s , a 3 ,.. sont positifs, est convergente si la série des 

 dénominateurs 



ö l) a i 5 <*3 ? • • 



est non-convergente: non-convergente, si cette serie est con- 

 vergente. 



La première partie de ce théorème se prouve assez faci- 

 lement comme il suit. 



D'après une note insérée dans le Tome 2 d de ces Actes, 

 p. 801 et suiv., la fraction continue en question répond à la 

 .série 



1--1- + - ,.±__L- +..2), 



