Du développement des nombres en fractions continues. 409 



limite suivant que n. riJrF + l se trouve respectivement positif ou 

 _ til. 



Ceti observé, on prouvera de la manière suivante mie 



— r, pris positivement sera . pour une valeur de n quelconque 



au-delà dune certaine limite , moindre que tout nombre positif 



donné, et que par conséquent le nombre développé a constitue 



l.i véritable somme de fa fraction continue 1). 



Dans le développement de ce, tel que nous le supposons 

 ii i. on trouvera nécessairement, après une certaine valeur de », 



o) b r _ toujours = 1 . 



U) b m toujours = 1 et 2, 



c) b r toujours = 2 ; 

 ou bien, après une valeur de n que/conque , 



d~) des valeurs de b„ > = 3. 



Examinons ce que deviendra, dans chacun de ces cas, 

 pour des valeurs de n indéfiniment augmentées l'expression ci- 

 dessus 2). 



Dans les cas a) et If) le dénominateur de cette expression 

 contiendra évidemment, pour de telles valeurs de /?, un nombre 

 indéfini de facteurs de la forme 



1 +r., 

 où la fraction continue r m ne pourra commencer que par 



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