— 124 — 



d'Ivonj. Cette méthode, qu'il a appliquée à l'ellipse et à l'hy- 

 perbole, douue lieu à la même coustructiou pour tous les cas 

 que présente l'équation du deuxième degré, et est surtout re- 

 marquable parce qu'elle conduit à un mode de génération 

 analogue des surfaces du second ordre. 



Le théorème d'ivory et la construction qui en est la consé- 

 quence, se démontrent, en considérant séparément chacune 

 des lignes du deuxième degré. 



Ellipse. — L'équation do la courbe rapportée à son centre 

 et à ses axes étant 



on considère une deuxième ellipse ayant les mêmes foyers F 

 et F' et dont l'équation est 



X- , y- , 



(2) 



b'' — u 



u désignant une quantité moindre que b'^. 



Un point R de la première courbe a pour coordonnées ««, 

 6/3, en supposant /x'^ -\- [i- = 1 . Les coordonnées d'un point r 



de la seconde sont « v'^" — ^'' > P ^^' — "• ^^ ^t r sont appelés 

 points corresiiondants des deux ellipses homofocales (l). 



En remplaçant «, /3 par «', jS', on a deux autres points cor- 

 respondants iS, 5; on a par suite : 



/îs- — Sr^ = [ rta — a y/a-— w]' + [ fcp — 15' \lb- — uf 

 — [a«' — « \/a- — u\ — \_bp' — ^\j b- — u\ 



(1) c'^ désignant a^ — b'^, on a-, a- — ol-c"^ = b- + P-c'-^- Si dans l'équa- 

 tion (2) on remplace u par cette dernière quantité, on obtient l'équation 



— = l, (lui est celle d'une liviicrbole liomofocalc aux ellipses 



(1) et (2) et passant par les points R et r. On sait que cette hyperbole 

 coupe orthogonalement les deux ellipses. 



