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 Donc Rs = Sr; c'est le théorème d'Ivory, démontré dans le 

 cas de l'ellipse. 



Cette propriété a lieu quelle que soit la valeur de u moindre 

 que b'\ Dans le cas limite où u= 6^ les ordonnées des points 

 r, s sont nulles ; leurs abscisses sont devenues «r, a'c, et comme 

 k2 et a'- sont des quantités plus petites que 1 , ces points sont 

 sur le grand axe de l'ellipse, entre les deux foyers F et F'. 



On démontre d'une manière générale que les points de cet 

 axe, qui sont correspondants des points de l'ellipse, sont 

 placés entre les deux foyers, en remarquant que pour u = b'^ 

 l'équation (2) donne y = o, et comme la quantité indéterminée 



est positive, il en résulte x^ < c'^. L'équation (2)repré- 



y' 



b'^ — u 



sente dans ce cas l'ellipse limite FF'. 



Si on suppose fixes les points R, S de l'ellipse donnée, ainsi 

 que les points correspondants r, s de l'axe des a;, et si on 

 considère un point quelconque M de la courbe, correspondant 

 à un point m de l'axe , on aura , d'après ce qui précède , les 



deux égalités 



rM = Rm, Ms = Sm. 



Donc : 31 est le point de rencontre de deux circonférences dont 

 les centres sont r et s et dont les raijons sont les longueurs Rm 

 et Sm [ûg. I). 



Lorsque R et S sont les deux sommets ^ et yl' de l'ellipse, 

 r et 5 coïncident avec les foyers F et F' et les égalités devien- 

 nent 



FM=Am, F'M = F'm, 



d'où résultent la construction ordinaire et la propriété fonda- 

 mentale FM -\- F'M = AA'. 



Dans le cas du cercle, c = o et tous les points r, s, m, etc., 

 se confondent avec le centre de la circonférence. 



Hyperbole. — L'équation de Li courbe étant 

 a- 62 



(3) S-!:='. 



