— 126 — 

 celle d'une hyperbole ayant les mêmes foyers est : 



a^ — u 6^ + 1* 

 w étant une quantité plus grande que — h^. 

 Les coordonnées de deux points correspondants K et r des 



deux courbes sont aa, è/3 et ay/a^ — u^ Pv^^^ + '^^i su suppo- 

 sant a^ —|32= 1(1). 



On obtient deux autres points correspondants 5, 5 en rem- 

 plaçant a, /3 par a, p', et on a par suite fis- — Sr^^^o, ou 



Pour ti = — 6- les points r, s sont sur l'axe des x; ils sont 

 sur l'axe des y pour u=. o?. 



1° Lorsqu'on suppose 1^ = — 6^, les ordonnées des deux 

 points sont nulles ; leurs abscisses sont vx, «'c, et comme a? et 

 (/'.'- sont des quantités plus grandes que 1 , 7' et 5 sont sur la 

 portion indéfinie de l'axe des x, en dehors de FF'. Il en est de 

 même de tous les points situés sur cet axe et correspondants 

 des points de l'hyperbole ; en effet, pour u=^ — 6^ , l'équa- 

 tion (4) donne y = 0, et la valeur de x^ qui lui convient est 



plus grande que c^, puisque la quantité indéterminée - ^ ■ ■ 



est positive. L'équation (4) représente dans ce cas une hyper- 

 bole limite dont les deux branches ont pour sommets F et F' 

 et se confondent avec l'axe des x. 



2° Lorsqu'on suppose u = a^^ les abscisses des points r et s 

 sont nulles ; leurs ordonnées sont Pc, p'c, et comme |3 et S' 

 peuvent recevoir toutes les valeurs possibles , r et s sont des 



(1) Les deux points R, r sont sur une ellipse qui a les mêmes foyers 

 que les deux hyperboles et dont l'équation -;— ^ + ^rn = 1 , où c^ dé- 

 signe a- 4" &2, se déduit de (4) en remplaçant u par «^ _ a2c2 ^^ — ^2 



— P2C2. 



On peut remarquer que les résultats relatifs à l'hyperbole se dédui- 

 sent de ceux qu'on a trouvés pour l'ellipse en changeant b^ en — b''', p*^ 

 en — p2^ etc. 



