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 II 



SURFACES DU SECOND DEGRÉ. 



Le changement que Jacobi a introduit dans la définition 

 de l'ellipse et de l'hyperbole, l'a conduit au théorème suivant 

 sur les surfaces du second degré : « Etant donnés deux trian- 

 gles RST, r5f , on construit sur ce dernier, comme base, une 

 pyramide triangulaire rstM, dont les trois arêtes rM, sM , tM^ 

 sont égales à trois longueurs Rm^ Sm, Tm; le lieu de M est 

 une surface du second ordre quand le volume de la pyramide 



rs étant prise pour axe des x, si on désigne par x\ y', les coordonnées 

 de R, par x", y" celles de S, et par Xx , x^ les abscisses de r et s, l'équa- 

 tion du lieu est : 



y2 = (X2 - 1) {X - xy - 2 (X + 1) [x' - Xi) (x - X') 4- !/'2, 



, , Xi Xa . 



en posant pour abréger — ; — =: /. 



On a une ellipse quand X^ < 1 ou r5 < RS' ; une hyperbole si X* > 1 

 ou rs >. R'S', et une parabole si X = 1 ou rs = RS'. 



L'équation représente deux droites concourantes quand le deuxième 

 membre est un carré parfait, c'est-à-dire quand on a 



(X2 _ l) y-2 _ () ^ 1)2 ^x' _ j,j)2 = 0. 



S ' on prend pour origine le point de rencontre des deux droites et 

 si on tient compte des égalités 



y'2 + (^' _ x,y2 = y-'2 + (_x' - X^]^ et | = |t. , 



la condition précédente devient 



[x'Xi — x"Xi] [x'x^ -\- x"xi — Ix'x"] = 0. 



Sous cette forme elle exprime que Rr et Ss sont parallèles ou font des 

 angles égaux avec r5. 



Le lieu est composé de deux droites parallèles 1° quand X= 1 et ^' 

 = a;i ; 2° quand X = — 1. Ces conditions donnent y"^ = J/"'. et dans le 



deuxième cas, on a '^^^^ = 7" '^' - , c'est-à-dire que le milieu de 



Rr est aussi le milieu de S's. 

 îjnOn pour j;'=j;", X=:oo , et l'équation se réduit à. {x — x']^ = o. 



