— 137 «- 



Si on remplace a, /3, 7 par a', p', 7', on a deux autres points 

 correspondants S, s des deux ellipsoïdes. On a par suite : 



Rs* — Sr^ = [aoc — a sjo? — w]'+ [hp — /3' s/b^ — uj 

 -f [^7 — v' s/c^ — u]" — } [ax — a \/a^ — uJ-\- [^P' — P \Jb'^ — i^Y 



+ Cy' — y v/c2 — uY | = W fa^ -f ^2 ^ y2 _ «'2 _ p _ y'2] _ Q; 



donc /?5 = 5r. Le théorème d'Ivory est ainsi démontré pour 

 deux ellipsoïdes homofocaux. 



Cette égalité a lieu quelle que soit la valeur de u < c^. 

 Pour le cas limite où u = c^, l'équation (2) donne z = o, et à 



cause de l'indétermination de la quantité positive — , 



c — u 



elle représente un ellipsoïde limite dont tous les points sont 

 dans le plan des xy intérieurs à la courbe qui a pour équation 



(3) -t^2 + ï;ïï^ = 1- 



' a^ — c^ b^ — c* 



Par l'hypothèse u = c^, l'a; et l'y du point quelconque r 



deviennent a yja' — c^ et /3 \lb'' — c^, et la substitution de ces 

 valeurs dans le premier membre de l'équation (3) donne pour 

 résultat a" -|- p^ ou 1 — 7^ quantité moindre que le deuxième 

 membre ; on vérifie ainsi que r est dans l'intérieur de la 

 courbe (3) ; on voit de plus que le point r est sur cette courbe, 

 si 7 = 0, c'est-à-dire si le point R de la surface (1) est dans le 

 plan des xy sur la section principale 



La courbe (3) est l'ellipse focale de la surface dans le plan 

 des xy; elle a les mêmes foyers que l'ellipse (4) et lui est in- 

 térieure. 



Soient T, M, deux autres points de l'ellipsoïde donné, ayant 

 pour correspondants dans le plan des xy les points t, m, si- 

 tués dans l'intérieur de la focale, on aura : Rt= Tr, St = Ts, 

 Rm = Mr, Sm = Us, Tm = Mt. 



