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D'après ces égalités, et si les points R, 5, T et leurs corres- 

 pondants r, s, t, sont fixes, un point quelconque M de l'ellip- 

 soïde est le sommet d'une pyramide triangulaire Mrst dont 

 les arêtes Mr, Ms, Mt sont respectivement égales aux trois lon- 

 gueurs Rm, Sm, Tm, m étant pris à l'intérieur de la focale (1). 



Lorsque les points R, 5, T sont sur la section principale (4), 

 r, s, t sont les points correspondants de la focale (3). En sup- 

 posant les triangles rst, RST ainsi inscrits dans les deux 

 courbes (3) et (4), on voit qu'it/j point M de l'eUipsoïde est l'in- 

 tersection de trois sphères ayant pour centres les points r, s, t, 

 et pour rayons les distances de R, S, T à un point m intérieur à 

 la courbe (3). On peut ainsi construire un ellipsoïde dont les 

 axes sont donnés. 



Dans la figure (TV), A et Af sont les deux sommets corres- 

 pondants des deux ellipses et/ le foyer voisin ; les deux points 

 R, r s'obtiennent facilement en remarquant qu'ils correspon- 

 dent à un même point p de l'axe, tel que i/>= RF et A^p = 

 vF, p étant d'ailleurs le sommet de l'hyperbole homofocale 

 aux deux ellipses qui passent par R et r. On a de môme S, s et 



r, t. 



ft et y.\ dans la même figure, sont les projections du point 

 Jf sur le plan des xy et sur le plan des xz; la construction 

 montre que les longueurs Mt et Tm sont égales. 



On peut trouver facilement l'équation du lieu. Soient x, y, 

 z les coordonnées du point M du lieu, et x\ y' celle du point 

 correspondant m du plan des xy; on peut écrire les coor- 



U) Des valeurs des coordonnées de deux points correspondants de la 

 surface du plan des xy, il résulte que le centre correspond au sommet 

 du petit axe de l'ellipsoïde, et que les ombilics ont pour correspondants 

 les foyers de la section principale. 



Quand le point m décrit une droite du plan des xy, le point corres- 

 pondant M décrit sur la surface une section perpendiculaire à ce plan. 

 Si M décrit une courbe plane de l'ellipsoïde de manière que sa projec- 

 tion sur le plan des xy décrive une courbe ayant un double contact avec 

 la section principale, le point m décrit une conique qui a un double 

 contact avec la focale et réciproquement. 



